专题22双曲线(解析版)

1专题22双曲线(解析版)易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：易错点2：双曲线的几何性质，渐近线,离心率,焦半经,通径；易错点3：直线与双曲线的位置关系（1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况；（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).题组一：定义与方程1.(20161)已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1mnmnm++-=解得,因为方程132222nmynmx表示双曲线，所以()()()()2230,130mnmnnn+-+-可得解得-1n3,故选A.2.(2012)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,AB两点，43AB；则C的实轴长为()A.2B.22C.D.【解析】设等轴双曲线C:()2220xyaa-=，xy162=的准线:4lx=-2因为C与抛物线xy162的准线交于,AB两点，43AB，所以()()4,23,4,23AB---,将A点代入双曲线方程得()()2224234,2,24aaa=--===所以，故选C.3.双曲线的渐进线方程为xy21，且焦距为10，则双曲线方程为()A.152022yxB.120522yx或152022yxC.120522yxD.1|520|22yx【解析】当焦点在x轴时，渐进线方程为xy21，所以2221,210,2bcabca==+=又，解得25,5ab==，所以双曲线的方程为221205xy-=.焦点在y轴时，渐进线方程为xy21，所以2221,210,2acabcb==+=又，解得5,25ab==，所以双曲线的方程为221205xy-=-.故选D.4.(2010)已知双曲线E的中心为原点，(3,0)F是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)N,则E的方程式为()A.22136xyB.22145xyC.22163xyD.22154xy【解析】由双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)xyabab，设1122(,),(,)AxyBxy，即2222112222221,1xyxyabab则22121222121212015115312yyxxbbxxayya，则22225,5,44bbaa，3故E的方程式为22145xy．应选B．5．(20173)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点．则C的方程为()A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy【解析】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，得52ab=①，椭圆221123xy的焦点为3,0，所以c=3②,又222abc+=③，联立①②③得2,5ab==，则C的方程为22145xy，故选B题组二：焦点三角形6.(20151)已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是()A.(-33，33)B.(-36，36)C.(223，223)D.(233，233)【解析】法1：根据题意12,FF的坐标分别为3,0,3,0，所以1002003,,3,,MFxyMFxy所以2221200000003,3,3310MFMFxyxyxyy所以03333y.故选A.4秒杀法2：012==90FMF当当由等面积得：33y⇒y212tan00212===FFbSθ因为120MFMF，所以12FMF为钝角，根据变化规律，可得3333-0y故选A.7.P是双曲线右支上的一点，F1,F2分别是左,右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为.【解析】如图所示：12,0,,0FcFc，设内切圆与x轴的切点是点H，PF1,PF2与内切圆的切点分别为M,N，由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|,所以|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以(x+c)-(c-x)=2a,得x=a.性质:双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；当P点在双曲线左支时，切点为左顶点；当P点在双曲线右支时，切点为右顶点.8.已知F1,F2为双曲线C：122yx的左,右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为________.【解析】法1：设12,,PFmPFnmn不妨设，可知1,1,2abc,根据双曲线定义222,24mnamnmn即①，在ΔPF1F2中，根据余弦定理22201212122cos60,FFPFPFPFPF228mnmn即②)0,0(12222babyax21FPF5联立①②得4mn，设P到x轴得距离为h，则011622sin60,222hmnh所有秒杀法2：由等面积得：4⇒3πsin2132θtan21212====PFPFPFPFbS设P到x轴得距离为h，01211622sin60,222hPFPFh所有故答案为：62性质:.双曲线上任意一点P与两焦点1F,2F构成的三角形:12PFF，12,FPF122tan2PFFbS9.如果分别是双曲线191622yx的左,右焦点，AB是双曲线左支上过点1F的弦，且||6AB，则2ABF的周长是．【解析】由题意4,3,5abc则.由双曲线得定义知2121228,8,+16AFAFBFBFAFBFAB所以22+22AFBF所以，所以2ABF的周长是22++28AFBFAB，故答案为：28性质：分别是双曲线的左,右焦点，AB是双曲线左支上过点1F的弦，则2ABF的周长是42||aAB题组三：渐进线10．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为12,FF12,FF)0,0(12222babyax6A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx【解析】解法一由题意知，3cea，所以3ca，所以222bcaa，所以2ba，所以该双曲线的渐近线方程为2byxxa，故选A．解法二由21()3cbeaa，得2ba，所以该双曲线的渐近线方程为2byxxa．故选A．11.(20131)已知双曲线C：)0,0(12222babyax的离心率为25，则C的渐近线方程为()A.xy41B.xy31C.xy21D.xy【解析】由题意22511,22cbbeaaa得，所以C的渐近线方程为,21xaby±=±=故选C.12.(20141)已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m【解析】由C:223(0)xmymm得2221,33,33,33xycmcmm33,0,Fm设33yxm一条渐近线为即0xmy，则点F到C得一条渐近线得距离333,1mdm故选A.性质：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.13.设F1,F2分别为双曲线)0,0(12222babyax的左,右焦点．若在双曲线右支上存在点P，)0,0(12222babyax7满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________.【解析】法1：因为|PF2|＝|F1F2|=2c,由双曲线的定义得|PF1|=PF2|+2a=2c+2a,过点F作F2Q⊥PF1于Q点，则|F2Q|=2a,等腰ΔPF1F2中，11,2PQPFca所以22222PFPQQF即222322,,5ccaaac解得可得2244,53bbcaca所以，双曲线的渐近线方程为43byxxa，即430xy法2：因为|PF2|＝|F1F2|，所以ΔPF1F2是等腰三角形，点F在直线PF1的投影为中点，由勾股定理得|PF2|=4b,又根据双曲线得定义知：4b-2c=2a,即c=2b-a①,又因为222cab②，联立①②得43ba，双曲线的渐近线方程为43byxxa，即430xy14．(20193)双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为A．B．C．D．【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨设点在第一象限，可得，，所以的面积为：,故选A．题组四：离心率15．(2011)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两22:142xyCFPCO||||POPFPFO()324322223222:142xyC(6,0)F22yxP2tan2POF63(,)22PPFO△133262248点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为____.【解析】通径|AB|=得，选B16.(20152)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_____.【解析】根据题意，设双曲线222210,0xyabab，不妨设点M在第一象限，所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH⊥x轴于点H，则∠MBH=600，故|BH|=a,3,2,3,MHaMaa将点M代入222210,0xyabab得a=b,所以2e17.(20162)已知F1，F2是双曲线E12222byax的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，31sin12FMF,则E的离心率为_____.【解析】设双曲线方程为x2a2–y2b2=1(a0，b0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MD⊥x轴，垂足为D．在Rt△BMD中，|BD|=a，|MD|=3a，故点M的坐标为M(2a,3a)，代入双曲线方程得4a2a2–3a2b2=1，化简得a2=b2，∴e=c2a2=a2+b2a2=2．18.(20172)若双曲线C:22221xyab(0a，0b)的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为___.【解析】双曲线C的渐近线方程为0bxay，圆心(2,0)到渐近线的距离为22|20|2babdcab，圆心(2,0)到弦的距离也为2213d，222baa2222222baaca9所以23bc，又222cab，所以得2ca，所以离心率2cea19．(20171)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若60MAN，则C的离心率为________.【解析】由题意A到渐近线0bxay得距离为：03cos30,2bb可得：223,2abbab22323,333ca即故离心率为：20．(20183)设F1，F2是双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点