二面角的求法

1二面角的几种求法1.引言在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。因此，研究求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。2.二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（[引]）2.1二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。2.2二面角的平面角的概念如图1所示，在二面角l的棱l上任意取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角。图13.求解二面角问题的几个难点2在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体体现在以下三个方面：3.1需要添加辅助线从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角。在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。3.2线面关系隐藏的深在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。3.3计算量巨大一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公式。有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。4.二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体ABCD中，1ACAB,2CDBD,3AD。求二3面角ABCD的大小。图2分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段BC的中点是E，接AE和DE。根据已知的条件1ACAB，2CDBD，可以知道AEBC且DEBC。又BC是平面ABC和平面DBC的交线。根据定义，可以得出：AED即为二面角ABCD的平面角。可以求出32AE，3DE，并且3AD。根据余弦定理知：2222223()(3)372cos243232AEDEADAEDAEDE即二面角ABCD的大小为7arccos4。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2：如图3所示，ABCD是正方形，PBABCD平面，1PBAB，求二面角APDC的大小。图3解：作辅助线CEPD于点E，连接AC、AE。由于ADCD，PAPC，所以PADPCD三角形三角形。即AEPD。由于4CEPD，所以AEC即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：2PC，3PD，又1CD，在三角形PCD中可以计算得到63CE。由此可以得到：63AECE，又2AC。由余弦定理：222222133cos22223AECEACAECAEAC即：23AEC。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线DE，点F在平面内，点C在平面内。求二面角FDEC的大小。图4分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面于点B。4.2.1补角法直接求解二面角FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角CDEB。因为二面角FDEC与二面角CDEB是互补的关系，现在先求出二面角CDEB后，二面角FDEC的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法5由于CADE，CB平面。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即ACDE且ABDE，根据定义可知，二面角CDEB的大小即为CAB的大小。那么二面角FDEC的大小可以用补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE，平面CAB与平面的交线是AC，平面CAB与平面的交线是AB，根据二面角的定义知CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角FDEC的大小。下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4：在图5中，PAABC平面，90oABC。其中1PAAB，2PBBC。E是PC的中点，DEPC。求二面角CBDE的大小。图5解：由于E是PC的中点，且PBC是等腰三角形，那么BDPC。又DEPC，可以推出：PCBDE平面。所以：PCBD。又PAABC平面，则BDPA，所以BDPAC平面。可以得出：PAC平面是CBD平面和EBD平面的公共切平面。由此，根据切平面法知CDE即为所求二面角的平面角。6由于CDECPAV，那么：123233CECDCPCA，13133CEDEPACA。又：22111221222CEPCBPBC。在三角形CDE中根据余弦定理可知：22241211333cos4223232333CDDECECDECDDE那么60oCDE。即求二面角CBDE的大小是60o。4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。例5：在图6中，PAABCD平面，四边形ABCD是一个直角梯形，其中1PA，1AD，1CD，12AB。90BADADC。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小。图6解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE。由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BAAD，BAPA，7那么BAPED平面，CDPED平面，1AE，2PE。在三角形PED中，2PDPE，2EDAEAD。那么根据勾股定理可知90DPE，即DPPE。CDPED平面，DPPE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理知：CPPE。又DPPE，即CPD即为所求的二面角。在RtCDP中，1CD，2PD，3PC。那么6cos3CPD。即：6arccos3CPD所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是6arccos3。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1，那么1的取值范围是(0,]2。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2的取值范围是(0,)。但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果202，21。（1）如果22，21。（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2平面法向量的求法8两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6：如图7所示在平面内，已知三点111(,,)Xxyz，222(,,)Yxyz，333(,,)Zxyz。图7下面求解平面的一个法向量nv。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：nXYXZvuuuvuuuv又212121{,,}XYxxyyzzuuuv，313133{,,}XZxxyyzzuuuv可以求出：212121212121313333313131{,,}yyzzzzxxxxyynyyzzzzxxxxyyv解法二：设平面的方程为0AxByCzD将点X，Y，Z的坐标分别代入方程可以解出系数A，B，C，D。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将A，B，C全部用D表示，这样就可以得到一个形如2540DxDyDzD的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D（0D一定不等于，否则=0ABCD，方程无意义），那么就可以得到平面的方程25410xyz。9得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标{,,}nABCv。解法三：在图7中，由所给的信息，可以求出向量XYuuuv、XZuuuv的大小。设平面的一个法向量{,,}nxyzv。若111{,,}XYabcuuuv，222{,,}XZabcuuuv。由0nXYvuuuv，0nXZvuuuv可以得到：11122200axbyczaxbycz可以求解出x，y，z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x，y用z表示。如{2,4,}nzzzv，由此可知向量{2,4,1}nv是平面的一个法向量。4.3.3两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为12,nnuvuuv，其中{,,},1,2iiiinABCiuv。于是：1212121222222212111222cosnnAABBCCnnABCABCuvuuvuvuuv4.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如图8所示，四边形ABCD是一个矩形，点E和点F分别在边AD和边AB上，其中4AEAFED，6FB。现在以直线EF为折痕，将三角形AEF折起，得到三角形'AEF，同时使得平面'AEF与底面ABCD垂直。求二面角'AFBC的大小。10图8解：以点A为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系Axyz，设点H是线段EF的中点，连接'AH。可以得到：(0,0,0)A，'(2,2,22)A，(10,8,0)C，(4,0,0)F，'{2,2,22}FAuuuv，{6,0,0}FBuuv。由于''AEAF，所以'AHEFuuuuvuuuv。又平面'AEF与底面ABCD垂直。所以：'AHABCDuuuuv平面。即'(0,0,22)HAuuuv是底面ABCD的一个法向量。设(,,)nxyzv是平面'AFB的一个法向量。那么：'0nFAvuuuv，0nFBvuuv即：2222060xyzx那么：0x，2y，2z，即{0,2,2}nv。'3cos',3'HAnHAnHAnuuuvvuuuvvuuuvv即二面角'AFBC的大小为3arccos34.4另