高考.三角函数题型分析

...3X博乐理科教育数学.高考复习资料（试题分析——三角函数）1数学.试题分析专题.三角函数一、题型分析一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．例1写出函数24sin23sincoscosyxxxx在0π，上的单调递增区间．解：2222sincossincos23sincosyxxxxxxπ3sin2cos22sin26xxx．由已知可得πππ2π22π262kxk≤≤，则ππππ63kxk≤≤，kZ．又0πx，，所以其单调递增区间是π03，，5ππ6，．点评：①在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的k值；②在求sin()yAx的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下π2sin26yx的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．二、图象变换问题三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为sin()yAx(00)A，的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x+k”代替“x”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？”，这个问题不搞清楚，就不要做题。例2已知函数22sin2sincos3cos1yxxxx，xR．该函数的图象可由sinyx，xR的图象经过怎样的变换而得到？解：22sin2sincos3cos1yxxxx2sin22cossin2cos21xxxxπ2sin214x．将函数sinyx依次作如下变换：（1）把函数sinyx的图象向左平移π4，得到函数πsin4yx的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数πsin24yx的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数π2sin24yx的图象；（4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数π2sin214yx的图象．综上得到函数22sin2sincos3cos1yxxxx的图象．...3X博乐理科教育数学.高考复习资料（试题分析——三角函数）2点评：由sinyx的图象变换得到sin()yAx的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即sinsin()sin()sin()yxyxyxyAx．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即sin()sin()yxyx是左（右）平移个单位长度．三、最小正周期问题这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是sin()yAx形式三角函数问题，从而求得其周期．最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现．应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求sin()yAx的周期．例3函数42sincosyxx的最小正周期为（）．（Ａ）π4（Ｂ）π2（Ｃ）π（Ｄ）2π解析：4222sin1sin1sin(1sin)yxxxx22211cos47cos41sincos1sin214888xxxxx，2ππ42T．故选（Ｂ）．点评：本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的．四、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．例4已知π1tan42．（1）求tan的值；（2）求2sin2cos1cos2的值．解：（1）由题意知π1tan1tan41tan2，解得1tan3；（2）222sin2cos2sincoscos2sincos1cos22cos2cos1115tan2326．点评：本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行！”；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考，尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。五、最值或值域问题这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角．例5若函数21cos2π()sinsinπ42sin2xfxxaxx的最大值为23，试确定常数a的值．解：222cosπ()sinsin2cos4xfxxaxx2πcossinsin4xxax...3X博乐理科教育数学.高考复习资料（试题分析——三角函数）32ππ2sinsin44xax2π2sin4ax．因为()fx的最大值为23，所以2223a，即23a，3a．点评：本题先进行三角恒等变换，化为sin()yAx的形式，再求a的值．求一个复杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等，一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为sin()yAx的形式后再求解．另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决，这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”，当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度，要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法进行了。二、题型特点：（条件给出的变化、难度等）在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述；在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此，这部分不能丢分。更不能会而不对，对而不全。三、强化训练一、选择题1、（海南、宁夏理3）函数πsin23yx在区间ππ2，的简图是（A）2、（海南宁夏理9）若cos22π2sin4，则cossin的值为（C）Ａ．72Ｂ．12Ｃ．12Ｄ．723、将π2cos36xy的图象按向量π24，a平移，则平移后所得图象的解析式为（A）Ａ．π2cos234xyＢπ2cos234xy．C、π2cos2312xyＤ．π2cos2312xy4、（江西理5）若π02x，则下列命题中正确的是（D）...3X博乐理科教育数学.高考复习资料（试题分析——三角函数）4Ａ．3sinπxxＢ．3sinπxxＣ．224sinπxxＤ．224sinπxx5、（全国卷1理1）是第四象限角，5tan12，则sin（D）A．15B．15C．513D．5136、全国卷1理（12）函数22()cos2cos2xfxx的一个单调增区间是（A）A．233，B．62，C．03，D．66，7、（全国卷2理2）函数sinyx的一个单调增区间是（C）A．，B．3，C．，D．32，8、函数sin2cos263yxx的最小正周期和最大值分别为（A）A．，1B．，2C．2，1D．2，29、“2π3”是“πtan2cos2”的（A）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10、若函数()2sin()fxx，xR（其中0，2）的最小正周期是，且(0)3f，则（D）A．126，B．123，C．26，D．23，二、填空题4、（江苏11）若1cos()5，3cos()5，则tantan___12__．11、（上海理6）函数2πsin3πsinxxy的最小正周期Tπ．15、（浙江理12）已知1sincos5，且324≤≤，则cos2的值是72512、（四川理16）下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=Zkk,2|.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数.2sin36)32sin(3的图象得到的图象向右平移xyxy⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔xy其中真命题的序号是①④三、解答题...3X博乐理科教育数学.高考复习资料（试题分析——三角函数）516、（安徽理16）已知0，为()cos2fxx的最小正周期，1tan14，，a(cos2)，b，且abm．求22cossin2()cossin的值．主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．解：因为为π()cos28fxx的最小正周期，故π．因m·ab，又1costan24ab··．故1costan24m·．由于π04，所以222cossin2()2cossin(22π)cossincossin22cossin22cos(cossin)cossincossin1tanπ2cos2costan2(2)1tan4m·18、（福建理17）在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A