中考数学专题-方程的根与二次函数

中考数学专题-方程的根与二次函数题型一：方程的根例1：已知：关于x的一元二次方程04)4(2mxmx，其中40m．（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线cbxxy2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且AD·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，1y）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．例2：已知：关于x的一元二次方程2220kxxk（1k）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．例3：已知关于x的方程2(3)40xmxm.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；（3）设抛物线2(3)4yxmxm与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线yx的对称点恰好是点M，求m的值.题型二：与不等式相关例1“抛物线2yaxbxc，a＞0，c＜0，2360abc．（1）求证：1023ba；（2）抛物线经过点1(,)2Pm，Q(1,)n．①判断mn的符号；②若抛物线与x轴的两个交点分别为点A1(,0)x，点B2(,0)x（点A在点B左侧），请说明116x，2112x．题型三：最值例1：已知二次函数22mmxxy．（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2：已知关于x的一元二次方程0312mxmx．（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线31xmy与函数mxy2的图象1C的一个交点的横坐标为2，求关于x的一元二次方程0312mxmx的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线312mxmxy绕原点旋转180，得到图象2C，点P为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别与图象1C、2C交于NM、两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标．题型四：几何图形一、三角形例1：已知：如图，抛物线2552baxaxy与直线bxy21交于点)0,3(A、点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有一点D，使得△DAB的面积是8，求点D的坐标；（3）若点P是直线1x上一点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．ACByxO例2：已知：抛物线2(2)2yxaxa（a为常数，且0a）.（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C.①当25AC时，求抛物线的解析式；②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t0），同时将直线l：3yx沿y轴正方向平移t个单位.平移后的直线为'l，移动后A、B的对应点分别为'A、'B.当t为何值时，在直线'l上存在点P，使得△''ABP为以''BA为直角边的等腰直角三角形?例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为)2,0(，点D在x轴的正半轴上，30ODB，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线236yaxxc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.二、四边形例1：关于x的一元二次方程240xxc有实数根，且c为正整数.（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线24yxxc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为,mn,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.例2：如图，边长为2的正方形ABCO中，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E．（1）求过点E、B、F的抛物线的解析式；（2）将∠EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一个交点为点G，且点G的横坐标为56，EM与NO有怎样的数量关系？请说明你的结论．（3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为23，求点P的坐标．二、圆例1：已知一元二次方程210xpxq的一根为2．（1）求q关于p的函数关系式；（2）求证：抛物线2yxpxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线21yxpxq与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点．求,pq的值．题型五：交点问题例1：已知：axy与xby3两个函数图象交点为nmP,，且nm，nm、是关于x的一元二次方程03722kxkkx的两个不等实根，其中k为非负整数．（1）求k的值；（2）求ba、的值；（3）如果0ccy与函数axy和xby3交于BA、两点（点A在点B的左侧），线段23AB，求c的值．例2：已知关于x的方程032)1(32mxmmx．（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222xy，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.例3：如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？题型六：线段的长与面积例1：已知抛物线22xxy．（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．例2：已知：如图1，等边ABC的边长为32，一边在x轴上且0,31A，AC交y轴于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．（1）直接写出点CB、的坐标；（2）若直线01kkxy将四边形EABF的面积两等分，求k的值；（3）如图2，过点CBA、、的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点0,2G作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：①CDMGNM②DCMMGN，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．.图1图2例3：在平面直角坐标系中，将直线l：2343xy沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线1C：232xy沿x轴平移，得到一条新抛物线2C与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线2C的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，求直线m的解析式．