三角函数总结经典例题

学习必备欢迎下载第三章三角函数3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad2360；rad1745.01801；130.57180rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,rl2||2121rlrS＝扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.6．三角函数的定义域三角函数定义域xysinRxycosRxytanZkkxx,2xycotZkkxx,xysecZkkxx,2xycscZkkxx,7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析学习必备欢迎下载1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与角终边相同的角的集合表示.Zkk,360，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法“0～90间的角”指900；“第一象限角”可表示为Zkkk,90360360；“小于90的角”可表示为90.3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk的同名三角函数值相等；（2）ryrx,，故有1sin,1cos，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1]若A、B、C是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）①.CAsinsin②.CAcotcot③.CAtantan④.CAcoscosA．1B.2C.3D.4正解：法1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.[例2]已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.正解：∵,角的终边关于y轴对称∴)(,22Zkk即)(,2zkk说明：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)(,Zkk[例4]已知角的终边经过)0)(3,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值.正解：若0a，则ar5，且角在第二象限学习必备欢迎下载3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa若0a，则ar5，且角在第四象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa[例5]（1）已知为第三象限角，则2是第象限角，2是第象限角；（2）若4，则是第象限角.解：（1）是第三象限角，即Zkkk,2322Zkkk,4322，Zkkk,34224当k为偶数时，2为第二象限角当k为奇数时，2为第四象限角而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上.（2）因为423，所以为第二象限角.点评：为第一、二象限角时，2为第一、三象限角，为第三、四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域..[例7]已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1。解：原式＝2222sin1)sin1(sin1)sin1(＝cossin2cossin1sin1又是第三象限角，0cos所以，原式＝tan2cossin2。点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.[例8]若角满足条件0sincos,02sin，则在第（）象限A.一B.二C.三D.四解：0cos0sinsincos0cossin0sincos02sin角在第二象限.故选B.四、典型习题导练1．已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5.0cos，则的值为）A．21arctanB．1arctanC．21arctanD．432．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（）A.-αB.л-αC.（2kл+1）л-α(k∈Z)D.kл-α（k∈Z）学习必备欢迎下载3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（）A．[2k－2，2k+2]B.(2k－2,2k+2)C.(2k－2，2k+2)∪k2D.以上都不对4．当0＜x＜时,则方程cos(cosx)=0的解集为()A.65,6B.32,3C.3D.326．已知x∈(0,2),则下面四式:中正确命题的序号是.①sinx＜x＜tgx②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)③sin3x+cos3x＜1④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx7．有以下四组角：(1)k+π2；(2)k-π2；(3)2k±π2；(4)-k+π2(k∈z)其中终边相同的是（）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（）A.12B.－12C.－32D.－339．函数y=1)3cos(2x的定义域是______,值域是______.3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cossin22；商数关系：cossintan；倒数关系：1cottan同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；（2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.2．诱导公式(zk)角函数正弦余弦记忆口诀k2sincos函数名不变符号看象限－sin－cos－sincossin－cos2－sincos2cossin学习必备欢迎下载2cossin函数名不变符号看象限23－cos－sin23－cossin诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；cossin，cossin，cossin三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cossin22）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲[例1]已知cot051cossin），则，（，__________正解：），，（，051cossin两边同时平方，有联立，与51cossin02512cossin求出，，53cos54sin∴43cot[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值正解：由　　②　　①BbABaAcoscossinsin①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1∴cos2B=2221baa∴sin2B=2221bab∴tan2B=1122ab∵B为锐角∴tanB=1122ab②①得tanA=batanB=1122abba[例4]已知tan2=2，求（1）tan()4的值；（2）6sincos3sin2cos的值．学习必备欢迎下载解：（1）∵tan2=2,∴22tan2242tan1431tan2;所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（2）由(I),tanα=－34,所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.[例5]化简：)()414cos()414sin(znnn正解：原式)]4(cos[)]4(sin[nn（1）当)(12zkkn，时原式)]4(2sin[k+)]4(2cos[k)4sin()4cos()4cos()4cos(=0（2）当)(2zkkn，时原式)]4(2sin[k+)]4(2cos[k)]4sin(+)4cos(=0[例6]若316sin，则232cos=（）A．97B．31C．31D．97正解：232cos=)]23(cos[=—)23cos(=—1+2)6(sin2=—97.故选A.四、典型习题导练1．当0＜x＜