2016年全国数学建模大赛C题-山东英才学院-周成飞-胡文进-杨元鹏

电池剩余放电时间预测摘要：铅酸电池作为电源被广泛应用与工业、军事、日常生活，所以电池的性能及其预测成为影响电池应用的一个关键因素，额定容量，额定电压，放电电流，自放电率都对铅酸电池的使用产生直接的影响。因此，铅酸电池剩余电量的精确估算具有十分重要的理论意义和现实应用价值[1]。对于问题1，题文中给出的要求，要计算20A~100A的9组放电曲线，根据给出的数据，观察到数据的不同变化规律，对数据进行分段处理，分别针对不同段的数据进行放电曲线拟合，进而得到各电流强度下的放电曲线方程。根据附件中所给出的MRE定义，求解出9组数据的平均相对误差MRE，通过求出的数据看出，本题所建立模型，使得计算数据与样本数据误差较小，对于问题1所建立模型较为理想。根据已知放电曲线模型，可以计算出电流强度在30A~70A五种情况的剩余放电时间。对于问题2，要求得任一恒定电流强度的放电曲线，可以利用曲面拟合方法得到由已知的电流强度为20A~30A的九组放电数据组合形成的曲面。利用matlab中的曲面拟合方法得到曲面方程表示的任意电流强度下的电池放电模型。根据本问题得到的曲面模型计算得出MRE与问题一曲线拟合方法计算得出MRE进行比较，确定模型的精度。根据本题给出的模型，即可得到55A时，各个时刻所对应的电压点。对于问题3，通过分析电池在不同衰减状态下的电压和放电时间关系，可以得到各衰减状态与电池电压之间的关系，通过分析相邻两个衰减状态的放电时间差值，可以得到新电池与衰减状态1，衰减状态1与衰减状态2，衰减状态2与衰减状态3之间放电时间差值的变化趋势，对三个放电时间差值的变化趋势进行分析，并根据已知的数据计算可以得到部分衰减状态2与衰减状态3之间的差值，进而拟合得到该差值的变化曲线方程，从而可以计算得到衰减状态2和衰减状态3之间的所有差值，据此差值可以预测出衰减状态3下的所有放电时间值。关键字：放电特性曲线拟合曲面拟合模型1、问题描述新电池在使用中，随着使用时间的增多以及给定电流的强度的不同，电池的使用时间也会不同。在本问题中，假设使用的数据为同一生产批次电池所产生，电压随着放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压设为9.0。从充满电开始放电，电池在当前负荷下还能供电多长时间，即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间是使用中必须回答的问题。对于电池的剩余分店时间，我们需要解决一下三个问题。问题11)根据附件中所给定的同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据，我们需要用初等函数分别列出电流强度为20A~100A的放电曲线。放电曲线即从充满电开始放电，电压随时间变化的关系。2)要计算出电流强度分别为20A~100A放电曲线的平均相对误差MRE，即从额定的最低保护电压Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点。这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差。3)以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压为9.8伏时，要计算出电池的剩余放电时间。问题21)要给出20A~100A之间的任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型2)用MRE评估模型的精度3)用表格和图形两种方式给出电流强度为55A时的放电曲线。问题3根据给出的同一电池新电池状态和3种衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电记录，预测出电池在衰减状态3下未给出的剩余放电时间。2、问题分析在工作中，我们经常需要对一些数据进行一些统计分析。我们统计分析的数据未必都存在着一些直接的关系。在计算中，已知的数据可以看成是在平面上一系列的离散点，我们想找出点间的关系，需要把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。2.1问题11）各放电曲线方程的建立为了解决本文中的问题，文中我们采用曲线拟合和曲面拟合方法。曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(xi，yi)（i＝1，2，…m），其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y＝f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)称作拟合模型，式中c＝(c1，c2，…cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型[2]。在数值分析中，曲线拟合就是用解析表达式逼近离散数据，即离散数据的公式化。实践中，离散点组或数据往往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值，它们是零散的，不仅不便于处理，而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。曲线拟合要解决的问题是寻求与背景规律相适应解析表达式使它在某种意义下最佳地逼近或拟合背景规律。进行曲线拟合常用方法就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[3]。polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数学基础是最小二乘法曲线拟合原理。曲线拟合：已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。我们在求解放电曲线方程时就使用了polyfit函数[4]。根据附件1中的数据，绘制20A~100A不同放电时间下的电压变化趋势图，发现在放电初期电池放电特点与放电后期电压变化规律不同，故在本题求解中，采用分段函数的方式来表示各电流下的放电曲线方程。2）MRE计算根据附件中给出的MRE的定义：从额定的最低保护电压Um9.0V开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点。这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差即为MRE。在附件1给出的数据中筛选出符合MRE定义条件的231个电压样本点，根据问题1中求出来的放电曲线方程，计算出这231个点的电池已放电时间，与采样已放电时间做差，并取绝对值，然后除以采样已放电时间计算出相对误差，再对231个数据求平均值，即可得到各个放电曲线的MRE。3）电压9.8时的剩余放电时间计算根据上述求得的电流强度为30A、40A、50A、60A、70A的放电曲线方程，已知给出电压9.8V，计算得到各电流强度下的电压为9.8时的已放电时间t1，进而计算得到保护电压9V时的已放电时间t2，两者做差（t2-t1），即可求出电池的在电压为9.8V时的剩余放电时间。2.2问题21）任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型求解附件1给出的数据中，能够找出恒定电流强度为20A~100A情况下，表示各个电压与放电时间关系的曲线方程，但如果想要求出任一恒定电流强度放电时的放电曲线，可以根据给出的数据建立一个曲面，在曲面上对数据进行拟合，得到曲面方程。所谓曲面拟合，就是根据实际测试数据，求取函数f(x,y)与变量x及y之间的解析式，使其通过或近似通过所有的实验测试点，使所有实验数据点能近似地分布在函数f(x,y)所表示的空间曲面上。所得曲面方程即为任意恒定电流强度下表示电池放电时间与电压关系的数学模型。2）MRE评估模型根据上一问题求解得到的曲面方程，我们以40A和70A为例，得到一个恒定电流强度分别为40A和70A的曲线方程，按问题1中MRE的计算方法，计算出平均相对误差，与问题1中建立的模型所计算得出的MRE进行比较，评估下模型的精度。3）电流强度为55A时的放电曲线把电流强度55带入上述求得模型中，得到电流强度为55A时的放电曲线，给出计算数据，并画出图形。根据计算可以看出误差相对较大。所以采用了另外一种得到了55A是的数据。根据20A~100A的9组数据找出不同电流强度在不同的放电时间的二次关系。进而求得55A时不同放电时间所对应的电压值。2.3问题3根据附件2中所给数据，电池在不同状态下电压在10.5附近以及电压小于10时，变化趋势明显不同，故我们考虑将原始数据中电压在10.5附近的部分数据去掉。通过绘制电池在不同状态下的放电时间变化曲线，可知在衰减状态3下其放电时间曲线形状应与新电池状态、衰减状态1、衰减状态2的放电时间变化曲线类似，且根据衰减状态3中的部分已知数据可以看出其放电时间变化较衰减状态2的放电时间变化更趋平缓，我们考虑根据已知新电池状态、衰减状态1、衰减状态2之间的放电时间变化趋势，以及新电池状态与衰减状态1，衰减状态1与衰减状态2，以及衰减状态2与已知的衰减状态3之间在同一个电压下的放电时间差值求解出衰减状态3下的缺失数据部分，即可预测得到电池在衰减状态3下不同电压情况下的放电时间。3、模型建立与求解3.1模型假设1）假设计算得到的参数的精度是可以忽略的。2）假设计算中出现的误差是被允许的。3.2问题13.2.1各放电曲线方程的建立根据2.1分析，采用非线性回归分析方法对附件1中给定的各电流强度电压放电时间数据进行曲线拟合，可以获取不同电流强度下的电压和放电时间变化曲线方程。根据附件1中给出的数据，画出了电流强度为20A~100A的图表，如下图3.1所示。图3.1通过图可知不同电流下的放电曲线形状，图中每条曲线均存在拐点，故利用分段函数进行表示。1）电流强度为20A的放电曲线方程计算：对于电流强度为20A数据中的第一个拐点位于：（16,10.4819），如图3.2所示。9.00009.500010.000010.500011.000011.50000500100015002000250030003500400020A30A40A50A60A70A80A图3.2根据对第一个拐点之后的数据进行分析发现，数据的变化由快速上升至趋于缓慢上升然后在下降，所以根据数据的变化速率程度，在对数据进行分段，第三段数据拟从（64,10.56）开始分段。如图3.3所示。图3.3利用非线性回归分析方法对各拐点之间数据进行二次曲线拟合，得到电流强度为20A时电压变化及放电时间变化的二次曲线（分段函数）。给定数据与分段拟合结果如图3.4，图3.5，图3.6所示。10.400010.500010.600010.700010.800010.900011.000011.100011.200011.3000051015202530354045505560657020A9.800010.000010.200010.400010.600010.800011.000011.200011.400005001000150020002500300020A图3.4图3.5图3.6第一段分段范围为：(0,11.1781)~(14,10.4850)求得二次方程系数：0.0049317,-0.11412,11.14110.400010.500010.600010.700010.800010.900011.000011.100011.200011.300002468101214系列1多项式(系列1)10.440010.460010.480010.500010.520010.540010.560010.58001618202224262830323436384042444648505254565860628.50009.00009.500010.000010.500011.000064214364514664814964111412641414156417141864201421642314246426142764291430643214336435143664放电曲线方程为y=0.0043317x2−0.11412x+11.141第二段分段范围为：(16,10.4819)~(62,10.56)求得二次方程系数：-4.148e-0.5,0.0048878,10.413放电曲线方程为y=−40148e−0.5x2+0.0048878x+10.413第三段分段