奥数第4讲-巧求周长与面积

鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page30第四讲巧求周长与面积1.掌握巧求周长与面积的基本方法；2.理解并掌握割补、平移等数学思想方法。【例1】（2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是__________厘米。【分析】由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。FHAC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和。所以长方形ADHE的周长为：(1824)284厘米。【例2】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？【分析】乙的周长实际上是正方形AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长。由于41.56AE，61.59AD，所以丙的周长为9436厘米，642EFAEAF（厘米）。教学目标经典精讲巧求周长HGFEDACB乙丙甲JIFEHGDCBA鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page31【例3】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。[拓展]用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？[分析]大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192L，所以有三角形19238个，小平行四边形38139个。【例4】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。【分析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的541.25倍。每个小长方形的面积为4595平方厘米，所以1.25宽宽5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.5422.5)229厘米。[拓展]右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽。[分析]大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.51.52.25倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312厘米，宽为4610厘米。【例5】（希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。【分析】把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301117378平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为11718分米，所以原正方形边长为：3781821分米。711鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page32【例6】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？【分析】通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即BC相等，不妨假设2BC厘米，可以算得：8AC厘米，10CD厘米。于是可以算得：3684.5GC厘米，30103BE厘米，1281.5EF厘米。于是大长方形的长为10818厘米，宽为4.5231.511厘米，因此大长方形的面积为1811198平方厘米。【例7】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【分析】小正方形的面积为：3030900平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为：99009009000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500平方米。长方形的宽为30米，那么长为：450030150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为15015022500（平方米）。巧求面积BCEFGDA3020121636鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page33【例8】长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】从图形我们可以看出，1AB的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD周长的一半，可以看出若以1AB和1BC为边能构成大正方形111ABCE（如右图b所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形111ABCE的边长为30215厘米，面积为：1515225平方厘米，正方形11CDDC与正方形1ADEA的面积之和为：2902145（平方厘米）。长方形ABCD与长方形11EDDE的面积相等。所以，长方形ABCD的面积为：(225145)240（平方厘米）。[巩固]用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？[分析]做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816，所以4a,2847b，原正方形面积为7749（平方厘米）。【例9】如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积。【分析】如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。C1A1ADCBC1D1E1A1EBCDAGFEADCBBCDAEFG鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page34【例10】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。【分析】题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a)，由已知，图中最小的小正三角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割，得到图b。从图b可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含9981个小正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：993912120个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米。【例11】（“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。【分析】甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABCD的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为64248厘米。【例12】（2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？【分析】如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，所以1号比3号大2a，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18144，即24a，2a，标号综合应用图a中中中大图b丁丙乙甲GHFEBADC5244431鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page35为5的正方形的面积是224。[巩固]（希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？[分析]因为正方形1的边长正方形2的边长正方形3的边长30厘米，正方形1的边长正方形2的边长22厘米，所以正方形3的边长30228(厘米)，正方形5的边长2正方形3的边长22厘米，所以正方形5的边长22826厘米，周长为6424厘米。[拓展]一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？[分析]为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。设最小的正方形边长为x厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，所以小正方形C的边长可以表示为7x（厘米），小正方形D的边长可以表示为772xxx（厘米），小正方形E的边长可以表示为7411xx（厘米），小正方形F的边长可以表示为11415xx（厘米），小正方形G的边长可以表示为15419xx（厘米），小正方形H的边长可以表示为7714xx（厘米），观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：(72)(7)(14)(15)(19)xxxxx，解得1x。从而可得小正方形C、D、E、F、G、H的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。大长方形的长为：181533（厘米），宽为：141832（厘米），大长方形的面积为：33321056（平方厘米）。BAHGFEDCBA22厘米30厘米445332211鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温学而思教育四升五竞赛123班第四讲教师版Page36【例13】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【分析】根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图a），将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b）。由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410米，即图b中的长方形的宽是10米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长