北师大版七年级下册数学：全等三角形专题

北师大版数学全等三角形专题一、考纲解读1．了解全等三角形的概念，掌握两个三角形全等的条件．2．能够根据三角形全等的条件或性质进行证明和计算．二、2018年中考命题趋势三角形全等是几何证明的重要内容之一，是每年中考的必考知识，题型既有低档的客观题，又有中低档的解答题，还有与四边形有关证明的综合题，重点考查学生的逻辑推理能力．在中考复习时掌握全等三角形的判定及性质的应用.1．定义：能够____________的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的____________相等；(2)全等三角形的____________相等；(3)全等三角形的______________________________和对应高相等；(4)全等三角形的周长、面积相等．完全重合对应边对应角对应角平分线、中线(1)边角边(SAS)；(2)角边角(ASA)；(3)角角边(AAS)；(4)边边边(SSS)；(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)．3．三角形全等的判定第1题图1.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()DA．SASB．ASAC．AASD．SSS2．(2016·永州)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CDD第2题图3．(2017·南州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件____________使得△ABC≌△DEF.∠A＝∠D第3题图或∠B＝∠E或AC=DF4．(2017·广州)如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：△ADF≌△BCE.AD＝BC∠A＝∠BAF＝BE证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE(SAS)全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用例1如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D∠ACB＝∠FAB＝DE，∴△ABC≌△DEF(AAS)；∴BC＝EF，∴BC－CE＝EF－CE，即BE＝CF变1如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求证：AB＝DE.证明：∵AF＝CD，∴AF+CF＝CD+CF即AC＝DF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠DAC＝DF∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE例2如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是()A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠DD．AB＝DC，∠DBC＝∠ACBD例3如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：BC＝DE.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AC＝AE∠BAC＝∠DAEAB＝AD，∴△BAC≌△DAE(SAS)，∴BC＝DE.D一、选择题1．(2016·新疆)如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是()A．∠A＝∠DB．BC＝EFC．∠ACB＝∠FD．AC＝DF第1题图C2．如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，则图中有多少对全等三角形()A．1B．2C．3D．4第2题图二、填空题(2016·广东)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝23，点E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的B′处，则AE＝____________．2三、解答题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB.(1)求∠CAD的度数；(2)延长AC至E，使CE＝AC，求证：DA＝DE.(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°，即∠CAD＝30°.(2)证明：∵∠ACD＋∠ECD＝180°，且∠ACD＝90°，∴∠ECD＝90°，∴∠ACD＝∠ECD，在△ACD与△ECD中，AC＝EC∠ACD＝∠ECDCD＝CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴DA＝DE.2.(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴△AOD∽△BOE∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠BAE＝BE∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∴∠C＝∠EDC.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝180°-69°-42°＝69°已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.证明：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB-∠ACD＝∠DCE-∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD；(2)由（1）得△ACE≌△BCD，△ACE是等腰直角三角形，∴∠B＝∠CAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°=90°，∴AD2＋AE2＝DE2，由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2又∵CD＝CE∴DE2＝2CD2∴2CD2＝AD2＋DB2小结：1、全等三角形的概念2、判定两个三角形全等的条件(1)边角边(SAS)；(2)角边角(ASA)；(3)角角边(AAS)；(4)边边边(SSS)；(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)．