有理数讲义

1/16有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲2/16【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【难度】★【答案】B【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例2】如果5米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8米；（2）3米；（3）0米；（4）6米．【难度】★【答案】（1）向北走8米；（2）向南走3米；（3）停留在原地；（4）向北走6米．【解析】向南为负数，则向北为正数．【总结】考察正数、负数表示的意义．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【难度】★【答案】C【解析】C答案错误，有理数包括正数和负数和0．【总结】考察有理数的分类．例题解析3/16【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（1）小数分为有限小数和无限小数，而无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为有理数，无限不循环小数为无理数；（2）大于负数的数也可以是0；（3）有理数分为正数、负数、0．【总结】考察有理数的分类，注意0既不属于正数也不属于负数．【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【难度】★【答案】-1万人．【解析】增加为，则减少为．【总结】考察正负数的意义．【例6】若盈利100元记作+100元，则50元表示______．【难度】★【答案】亏损50元【解析】盈利为，则亏损为．【总结】考察正负数的意义．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18，5，215，158，0.3，5.67，，0，5.5555，20，0.3，567．【难度】★★【答案】正整数：11，567；负数：18，5，158，5.67，20；正分数：215，0.3，5.5555，0.3；非负数：11，215，0.3，，0，5.5555，0.3，567；4/16有理数：11，18，5，215，158，0.3，5.67，0，5.5555，20，0.3，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3，567．【解析】有理数分为整数和分数，注意无限不循环小数属于无理数．【总结】考察实数的分类．【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9分，他实际得分是多少？【难度】★★【答案】+6；78．【解析】小智得93分，记为93-87=6；小方记作-9分，则他实际得分为87-9=78分．【总结】考察正负数的意义及简单运算．【例9】a表示的数一定是（）A．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【难度】★★★【答案】D【解析】因为a有可能为正数、负数、0，则a可能是正数或负数或0．【总结】考察正负数的意义．【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2，4，8，16，______，______，______；（2）1，2，3，4，5，6，7，8，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．67232016312017则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．5/16ABCDE0121、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．2、相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“”、“”或“=”）【难度】★【答案】（1）原点、正方向、单位长度；（2）左，右；（3）；；．【解析】考察数轴的基本要素．【例12】在下图所示的数轴上，写出A、B、C、D、E各点分别表示什么数．【难度】★【答案】10.501.51.25ABCDE，，，，．【解析】考察数轴上数字的表示方法．例题解析模块二：数轴知识精讲6/16【例13】下列说法正确的是（）A．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D．任何一个正有理数的倒数都比1小【难度】★【答案】A【解析】任何有理数一定有相反数，但是除了0之外都有倒数．D答案错误，如0.5的倒数为2，比1大．【总结】考察相反数和倒数的意义．【例14】判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（）（2）一个数的相反数的相反数是它本身．（）（3）正数和负数互为相反数．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×【解析】0和正数统称为非负数；1（正数）和-2（负数）不是互为相反数．【总结】考察相反数的意义．【例15】7的相反数是______，3.2是______的相反数．【难度】★【答案】-7；3.2【解析】正数的相反数是在数字前面加负号，负数的相反数是去掉数字前面的负号．【总结】考察相反数的表示方法．【例16】先画出数轴，然后在数轴上画出表示3、32、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【难度】★★【答案】A、B、C、D、E、F、G所代表的数字分别为3、32、0、2、3、32、-2它们从小到大排列为3-23203223．【解析】考察数轴上有理数的表示方法．7/16abO【例17】数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______；数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______．【难度】★★【答案】2个；2和-2；3和-1【解析】可利用画数轴得到答案．【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论．【例18】到原点距离不大于1的数有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【难度】★★【答案】D【解析】数轴上-1到1之间的实数有无数个．【总结】考察实数比较大小．【例19】已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？【难度】★★★【答案】12．【解析】设A点表示的有理数为x，B点表示的有理数为y．因为A点与原点O的距离为3，则3x，∴3x或-3又因为A、B两点之间的距离为1，则1xy，即1xy，因为3x或-3，所以B点表示的有理数有四种情况：4y或-2或2或4.所有满足条件的点B与原点O的距离之和为124224【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例20】a、b在数轴上的位置如图所示，Mab，Nab，Hab，Gab，求它们的大小关系．（用“”连接）【难度】★★★【答案】MNHG．【解析】由数轴可得：0ab，则0baG，0baM，0baN，0baH【总结】考察数轴上有理数的大小比较．8/16ABCD【例21】数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的有多少个？【难度】★★★【答案】2018个或2017个【解析】当A、B为整点时，线段AB=2017盖住的整点个数是2018个；当A、B分别不是整点时，线段AB=2017盖住的整点个数是2017个．【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例22】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且210da，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★【答案】B【解析】若原点为A，则07ad，，此时72ad，和已知不符，排除；若原点为B，则34ad，，此时102ad，和已知相符，正确．【总结】考察数轴上有理数的表示．1、绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．2、绝对值的数学表达用符号a表示数a的绝对值．0000aaaaaa3、有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．模块三：绝对值基础知识精讲9/16【例23】5的绝对值是______，记作_______；3的绝对值是______，记作______．【难度】★【答案】5；5；3；3．【解析】考察绝对值的求法和记法．【例24】5.3______，213______，0______，2.6_______．【难度】★【答案】5.3；321；0；2.6．【解析】考察绝对值的求法．【例25】3的倒数的绝对值是______．【难度】★【答案】31．【解析】-3的倒数是31，则其绝对值是31．【总结】考察绝对值和倒数的求法．【例26】判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（）（2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（）（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（）【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）×．【解析】（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或正数．（3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0．【总结】考察绝对值的求法．例题解析10/16【例27】绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个．【难度】★★【答案】12；210，，；5【解析】绝对值不大于4的非负整数有0、1、2、3、4，共5个．【总结】考察绝对值的求法，注意对非负整数的理解．【例28】当3x时，7x一定等于4吗？【难度】★★【答案】不一定．【解析】由题意可得：x为3或-3．当x=3时，47x；当3x时，107x．【总结】考察绝对值的求法．【例29】若0ab，则a与b的关系是（）A．不相等B．异号C．互为倒数D．0ab【难度】★★★【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0．【总结】考察绝对值的非负性．