等比数列的前n项和及性质

2020/8/1212.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和2020/8/122等比数列前n项和公式已知等比数列，公比：qna前n项和nnnaaaaaS1321nnnaqaqaqaqaqSq1321nnnaqaaaaSq432①②错位相减法①-②得：nnqaaSq1)1(Sn＝na1（q＝1），a1（1－qn）1－q（q≠1）前n项和公式Sn＝na1（q＝1），a1－anq1－q（q≠1）2020/8/123等比数列前n项和公式性质已知等比数列，公比：qna（1）取偶数项：87654321,,,,,,,aaaaaaaaqaaaaaaaaqaaaaaaaaSS7431743174318642)(奇偶一般地取偶数2n项（2）取奇数项：987654321,,,,,,,,aaaaaaaaaqaaaaaaaaqaaaaaaaaSaS86428642864297531)(偶奇取奇数2n+1项2020/8/124等比数列前n项和公式性质已知等比数列，公比：qna987654321,,aaaaaaaaa三个数成等比所以69363,,SSSSS三个数成等比一般的nnnnnSSSSS232,,三个数成等比若为等比数列，na则nnnnnSSSSS232,,三个数成等差若为等差数列，na则2020/8/125[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a1（1－qn）1－q来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列()2020/8/126[解析](1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠0且q≠1)变形为：Sn＝a11－q－a11－qqn(q≠0且q≠1)，若令a＝a11－q，则和式可变形为Sn＝a－aqn.[答案](1)×(2)√(3)√2020/8/1272．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．2D．－2A[由S5＝a1[1－（－2）5]1－（－2）＝44，得a1＝4.]2020/8/1283．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299C[数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝1－2991－2＝299－1.]2020/8/1294．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2等于()A．2B．4C.152D.172C[S4a2＝a1（1－q4）1－q×1a1q＝1－q4（1－q）q＝152.]2020/8/1210题型一等比数列的前n项和公式的基本运算[典例1]在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a1＝8，an＝14，Sn＝634，求n；(2)S3＝72，S6＝632，求an及Sn.2020/8/1211[解](1)显然q≠1，由Sn＝a1－anq1－q，即8－14q1－q＝634，∴q＝12.又an＝a1qn－1，即8×12n－1＝14，∴n＝6.(2)法一由S6≠2S3知q≠1，由题意得a1（1－q3）1－q＝72，①a1（1－q6）1－q＝632，②②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.2020/8/1212代入①得a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝a1（1－qn）1－q＝2n－1－12.法二由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.∴1＋q3＝S6S3＝9，∴q3＝8，即q＝2.代入①得a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝a1（1－qn）1－q＝2n－1－12.2020/8/1213[类题通法]在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2020/8/1214[活学活用]已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5.[解]设等比数列的公比为q，则a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a1（1＋q2）＝10，①a1q3（1＋q2）＝54.②2020/8/1215∵a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得q3＝18，∴q＝12，∴a1＝8，∴a4＝8×123＝1，∴S5＝8×1－1251－12＝312.2020/8/1216题型二等比数列的前n项和的性质[典例]等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝________．[解析]法一设公比为q，由已知易知q≠1，由a1（1－qn）1－q＝48，a1（1－q2n）1－q＝60⇒qn＝14，a11－q＝64，所以S3n＝a1（1－q3n）1－q＝a11－q·[1－(qn)3]＝64×1－164＝63.2020/8/1217法二由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)⇒S3n＝63.[答案]632020/8/1218[活学活用]1．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________．[解析]法一∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14.再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.2020/8/1219法二由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2，公比q′＝S6－S3S3＝6－22＝2，得S12－S9＝2×23＝16.[答案]162020/8/12202．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．[解]法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有1－q2n1－q2＝85，①q（1－q2n）1－q2＝170.②由②÷①，得q＝2，2020/8/1221∴1－4n1－4＝85，4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8.法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q.∴q＝S偶S奇＝17085＝2.又Sn＝85＋170＝255，据Sn＝a1（1－qn）1－q，得1－2n1－2＝255，∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.2020/8/1222题型三等比数列及其前n项和的综合应用[典例](1)在等比数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于A．(2n－1)2B.（2n－1）23C．4n－1D.4n－132020/8/1223D[∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1.∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，∴{an}的公比为2.∴{an2}的公比为4，首项为a12＝1.∴a12＋a22＋…＋an2＝a12（1－4n）1－4＝4n－13.]2020/8/1224(2)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则①a3＝________；②S1＋S2＋…＋S100＝________．[解析](1)由a5＝a2q3，得q3＝18，所以q＝12，而数列{anan＋1}也为等比数列，首项a1·a2＝8，公比q2＝14，2020/8/1225所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8（1－4－n）1－14＝323(1－4－n)．(2)①∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－12n－(－1)n－1an－1＋12n－1(n≥2)，∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋12n.当n为偶数时，an－1＝－12n，2020/8/1226当n为奇数时，2an＋an－1＝12n，∴当n＝4时，a3＝－124＝－116.②根据以上{an}的关系式及递推式可求得．a1＝－122，a3＝－124，a5＝－126，a7＝－128，a2＝122，a4＝124，a6＝126，a8＝128.2020/8/1227∴a2－a1＝12，a4－a3＝123，a6－a5＝125，…，∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－12＋122＋123＋…＋12100＝12＋123＋…＋1299－12＋122＋…＋12100＝1312100－1.[答案](2)①－116②1312100－12020/8/1228[类题通法]求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件．(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．(4)整理求解．2020/8/1229[活学活用]1．公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________．[解析]设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以a22＝a1·a6，即(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)，所以d＝3a1，所以a2＝4a1，所以等比数列ak1，ak2，ak3，…的公比q＝4，2020/8/1230所以ak4＝a1·q3＝a1·43＝64a1.又ak4＝a1＋(k4－1)·d＝a1＋(k4－1)·(3a1)，所以a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，a1≠0，所以3k4－2＝64，所以k4＝22.[答案]222020/8/12312．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝13，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝13，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.2020/8/1232(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝bn3，因此{bn}是首项为1，公比为13的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.2020/8/1233谢谢观看！