同济大学高等数学第六版上第二章第一节-导数的概念

导数的概念在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,,0时刻的瞬时速度求t0t,0tt的时刻取一邻近于t,t运动时间ttsv平均速度00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2t)(tlimv00gtt瞬时速度.0gt上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，运动路程为s=s(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度定义为tsvtvtt000limlim)(ttsttst)()(lim000速度反映了路程对时间变化的快慢程度2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放Toxy)(xfyCNM如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设0xx的斜率为割线MN如图,00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx某点处的导数，即函数图像在该点切线的斜率二、导数的定义定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数,)(00xxxxdxxdfdxdy或即xxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx关于导数的说明：★导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质★.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x★平均变化率为端点的区间上的和在以是xxxyxy00★.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或★单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx2.右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx★函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★.,),(),()(000可导性的讨论在点设函数xxxxxxxxfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xf,)()(00axfxf且则)(xf在点0x可导，.)(0axf且三、由定义求导数（三步法）步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22例3.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx例如,)(x12121x.21x)(1x11)1(x.12x例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即特别地.)(xxee例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0xxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa.log1)(logexxaa即特别地.1)(lnxx例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义oxy)(xfy0xT)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxfM且有限时若0)(0xf切线方程为的过))(,(00xfx).)((000xxxfyy法线（与切线垂直）方程为).()(1000xxxfyy时当0)(0xf切线方程为)(0xfy法线方程为0xx时当)(0xf切线方程为0xx法线方程为)(0xfy例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为),21(42xy.044yx即法线方程为),21(412xy.01582yx即2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxy)0(0xxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf注意:该定理的逆定理不成立.★连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数xxfxxfxxfxyxxfxx例如,,1)(3xxf.1处不可导在x31xyxy01.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数xxf例如,,0,00,1sin)(xxxxxf.0处不可导在x011/π－1/πxy.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若xfxxxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy例8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx0)(lim)0(0xffx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf六、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.