反函数定义

反函数定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=g(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.反函数性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。(5)一切隐函数具有反函数；(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。（8）反函数是相互的且具有唯一性（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2x例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)（x属于R）（11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I}内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。反函数说明⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。⑷从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）：函数：y=f(x)反函数：y=f’(x)定义域：AC值域：CA⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3.有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a反函数应用直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；（我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）2、反解x，也就是用y来表示x；3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x；4、写出原函数及其值域。实例：y=2x+1（值域：任意实数）x=(y-1)/2y=(x-1)/2（x取任意实数）特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。反函数求解三步骤：1、换：X、Y换位2、解：解出Y3、标：标出定义域