函数性质的综合应用例题精选

函数性质的综合应用知识点一．函数的单调性1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：2.在解答题中常用：定义法：取值――作差――变形――定号注：为便于判断差的符号对差变形的方向是：完全平方的和或因式的积.（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a的取值范围是______(答：3a))；（2）已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：1(,)2）；（3）若函数log40,1aafxxaax且的值域为R，则实数a的取值范围是______(答：04a且1a))；的单调区间）求（xxy2log4221∴的单调增区间xxy2log221为]10(，，单调递减区间为)21[，.(5)已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。（答：1223m）二.函数的奇偶性。1.具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(xf2sin(3)x，[25,3]x为奇函数，其中)2,0(，则的值是（答：0）；2.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：如判断函数2|4|49xyx的奇偶性____（答：奇函数）。②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx或()1()fxfx（()0fx）。如判断11()()212xfxx的奇偶性___.（答：偶函数）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。3.函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（1）若定义在R上的偶函数()fx在(,0)上是减函数，且)31(f=2，则不等式2)(log81xf的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)）②若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.（2）若22()21xxaafx·为奇函数，则实数a＝____（答：1）.上的奇函数，，为定义在）（]11[)(3xf，时，，当142)()10(xxxfx上的解析式。在求1,1)(xf三.函数的周期性1.由周期函数的定义“函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数”得：①函数()fx满足xfxaf，则()fx是周期为2a的周期函数；②若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta；③若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.(1)设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____(答：5.0)；(2)定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为_________(答：(sin)(cos)ff)；（3）已知()fx是偶函数，且(1)f=993，()gx=(1)fx是奇函数，求(2005)f的值(答：993)；（4）设fx是定义域为R的函数，且21fxfx1fx，又222f，则2006f=.(答：222)12.函数的对称性。①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线2abx对称。特别地：若x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（1）已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝_____(答：212xx)；②形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(,)dacc。（2）已知函数)(1)(Raxaaxxf。求函数)(xf的图像对称点；③|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。（2）作出函数2|log(1)|yx及2log|1|yx的图象；（3）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于____对称（答：y轴）四．指数式、对数式：1.幂指数的运算法则mnmnaa，1mnmnaa，01a，nmnmaaannnbaab)(mnmnaa)(对数的运算法则log10a，log1aa，（1）naabbnloglog(a0,a≠1,b0,n∈R+);(2)aNNbbalogloglog(a0,a≠1,b0,b≠1);(3)Nanalog(a0,a≠1,N0);(4)balog的符号由口诀“同正异负”记忆;)0,;1,0(logloglogNMaaNMMNaaa)0,;1,0(logloglogNMaaNMNMaaa2.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。基本思维程序是：①中间量（0再1）②化为同底利用单调性（可引进中间量：以保证同底、同真或同指）③作差或作商法（必要时可转化）3.指数函数xay与对数函数y=xalog（a0，a≠1）①互为反函数，②其单调性与a的大小有关，③图像特征：4.幂函数xy及其性质（只要求12231,,,,yxyxyxyyxx）.（1）都过点（1，1）.（2）0时，图像过点（0，0），且在第一象限中逐渐上升，0时，图像不过（0，0），且在第一象限中逐渐下降.（3）1x时，指大图高.01x时，指大图低.5.函数)0(axaxy的图象和性质；定义域),0()0,(值域),2[]2,(aa奇偶性奇函数单调性在),[],,(aa上单调递增；在],0(),0,[aa上单调递增；oyx6.二次函数（1）二次函数的解析式。*三种常用表达式：①)0(2acbxaxy，（定义式）；②)0(,)(2akhxay（顶点式）；③)0(),)((21axxxxay（两根式）。（2）.透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0函数y=ax2+bx+c,(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的根abx22,1abx22,1无实根不等式ax2+bx+c0的解集xx1或xx2x≠x1,2R不等式ax2+bx+c0的解集x1xx2ΦΦ*两条规律：①二次函数0,)(2acbxaxxf的图象与轴的交点的横坐标21,xx即二次方程02cbxax的根，且对称轴方程为221xxx；②不等式02cbxax（或,,）的解集为0,)(2acbxaxxf图象上方（或下方）的点的横坐标的集合。【注意】当0a时要转化、化归成0a时的情况求解。函数性质的综合应用例题选讲例1.设函数1(12)()1(23)xfxxx,()()gxfxax,1,3x,其中0a.记函数g(x)的最大值与最小值的差为()ha,求()ha的表达式并求()ha的最小值.【答案】解:1(12)()(1)1(23)axxgxaxx当12x时,maxmin()1,()12gxagxa当23x时,若01a,则()2,3gx在上递增,maxmin()23,()12gxagxa若1a,则()2,3gx在上递减,maxmin()12,()23gxagxamaxmin10()23,()122agxagxa时，maxmin11()1,()122agxagxa时，maxmin1()1,()23agxagxa时，例2.已知函数2))(1()(xaxxxf为偶函数.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)记集合{(),{1,1,2}}Eyyfxx,21lg2lg2lg5lg54,判断与E的关系;(Ⅲ)当x]1,1[nm0,0nm时,若函数()fx的值域为]32,32[nm,求nm,的值.解:(Ⅰ))(xf为偶函数()()fxfx22))(1())(1(xaxxxaxx,0)1(2xaxR且0x,1a(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:221)(xxxf当1x时,()0fx;当2x时,3()4fx304E,,例3.已知函数122()log1axfxx(a为常数).(1)若常数2a且0a,求()fx的定义域;(2)若()fx在区间(2,4)上是减函数,求a的取值范围.（答案）解:(1)由201axx,当02a时,解得1x或2xa,当0a时,解得21xa.故当02a时,()fx的定义域为{|x1x或2xa}当0a时,()fx的定义域为{|x21xa}.(2)令21axux,因为12()logfxu为减函数,故要使()fx在(2,4)上是减函数,2211axauaxx在(2,4)上为增且为正.故有min201222(2)021aaauu.故[1,2)a.例4.设baxfxx122)(（ba,为实常数）。（1）当1ba时，证明：)(xf不是奇函数；（2）设)(xf是奇函数，求a与b的值；（3）求（2）中函数)(xf的值域。（4）当)(xf是奇函数时，证明对任何实数x、c都有33)(2ccxf成立．（答案）（1）1212)(1xxxf，511212)1(2f，412121)1(f，所以)1()1(ff，)(xf不是奇函数；……………4分（2）)(xf是奇函数时，)()(xfxf，即babaxxxx112222对任意实数x成立，化简整理得0)2(2)42(2)2(2baabbaxx，这是关于x的恒等式，所以042,02abba所以21ba或21ba；……………8分（3）当21ba时，121212212)(1xxxxf，因为02x，所以112x，11210x，从而21)(21xf；所以函数)(xf的值域为)21,21(。（4）21)(21xf；而4343)23(3322ccc对任何实数c成立；所以对任何实数x、c都有33)(2ccxf成立．例5.已知函数()fx满足：对任意,xyR，都有()()()()()2fxyfxfyfxfy成立，且0x时，()2fx。（1）求(0)f的值，并证明：当0x时，1()2fx；（2）判断()fx的单调性并加以证明。（3）若函数()()gxfxk在(,0)上递减，求实数k的取值范围。（答案）解：（1）2(0)(0)(0)(0)(0)2,(0)3(0)20,(0)2(0)1.fffffffff或若(0)1f则f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)