谱元方法课程

谱元方法简介主讲：秦国良电话：82663537邮箱：[e-mail]2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]21、正交函数系与谱近似1.1正交函数系与正交多项式1.2函数的Fourier展开1.3Chebyshev谱逼近(离散函数的Fourier展开)1.4插值函数的导数1.5二维函数的Chebyshev谱近似2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]31.1正交函数系与正交多项式•设函数系{j(x)}，如满足条件，则称函数系{j(x)}，在区间[a,b]上关于权函数w(x)正交，当j(x)是代数多项式时，称为正交多项式。•如Chebyshev多项式，jkjkdxxxxwxxjkbajk00)()()()(),()arccos(cos)(xixTj正交函数上关于权，－在区间即多项式23322101111,...,34,12,,1xxwxxxTxxTxxTxT2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]4Chebyshev多项式的正交性0,20,,011,112jkjkjkdxxTxTxTTjkjk2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]51.2函数的Fourier展开•函数f(x)在区间[a,b]上满足Dirichlet条件，且加权平方可积，即对于权函数w(x)，有，则f(x)可在[a,b]上以w(x)为权函数，按正交多项式φn(x)展成广义Fourier级数，•设{j(x)}为在节点{xk,k=0,1,…,N}上的正交函数系，权为{wk0,k=0,1,…,N}，设f(x)为在节点系{xk,k=0,1,…,N}上取值的已知函数，则函数f(x)的Fourier展开定义为，0)()(jjjxaxf),())(,(jjjjxfaNjjjNxaxfP0)()(NkkkjjNkkjkkjjwxxxfwa020)(,)()(12020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]61.3Chebyshev谱逼近(离散函数的Fourier展开)•取节点系{xk,k=0,1,…,N}为N阶Chebyshev多项式的极值点(称Gauss-Lobatto点)，即，权系数•则上面的展开式变为，–此式亦可看作f(x)在配置点上的插值,g(x)为插值函数。NkNkxk,,1,0cosNkkkjjkwxNjNNjNw02)(11,02NkkkNxgxfxfP0)()()(NjjkjjkkxTxTccNxg0)()(12)(NmNmcm,01,022020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]71.4插值函数的导数•对微分得：•插值函数在配置点的导数可表示为，NjjppjpNpxgdxdxfdxxfPd0NjiNjiNNjjixxjixxccddDjjjijijiiijj612061211,)1(2)1()(g222NjjkpjpkNpDxfdxxfPd0)(xfPN2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]81.5二维函数的Chebyshev谱近似•对二维函数u(ξ,η)，在标准正方形单元内，定义ξ,η方向节点系{ξj，j=0,1,…,Nx}和{ηk，k=0,1,…,Ny}，xxNjNj,,1,0cosyyNkNk,,1,0cosixiyNjNkikijijkihhuu00)()(),(1,11,11,11,12020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]92谱方法求解微分方程2.1解微分方程的加权残量法MWR（MethodofWeightResiduals)2.2谱方法求解微分方程2.3小结2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]102.1解微分方程的加权残量法MWR（MethodofWeightResiduals)–基本思想–MWR的步骤–MWR的基本方法2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]11加权残量法基本思想(1)•设微分方程边值问题为，•加权余量法，是求微分方程形式如下的近似解。a=[a0,a1,…,aN]T为待定向量，0,1,…,N为为基函数，且是一组线性无关的函数NiiiNau0DxfLu0DxgBu02020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]12加权残量法基本思想(2)•“残量”定义如下，–显然只有当试函数为边值问题的精确解时，余量(2.31)才为零。•加权残量法–适当选取待定向量a=[a0,a1,…,aN]T，使得“残量”极小。通常某一权函数系{wi(x),i=0,1,…,N}，使得权函数与“残量”正交，来确定待定向量。faxLuaxRN);();(NjdxaxRxwRwDjj,,1,00);()(),(2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]13MWR的步骤•①选取一组满足要求的基函数•②构造试函数并满足所有边界条件；•③选取一组权函数•④运用MWR准则，得到的代数方程组；•⑤解上述代数方程组，确定待定参数。NiiiNau0Njxwj,,1,0),(NjRwj,,1,0,0),(Naaa,,,102020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]14MWR的基本方法•按权函数的不同有以下几种基本方法–Galerkin法(GalerkinMethod)–配置法(CollocationMethod)–Tan方法(TanMethod)–类似于Galerkin法，Tan方法中，试函数不需要满足边界条件，增加边界约束系数来满足边界条件Njxxwjj,,1,0)()(Njxxxwjj,,1,0)()(2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]152.2谱方法求解微分方程•以非线性Burger方程为例来说明谱方法的离散过程,并区别Galerkin法,Tau方法和Collocation方法。Burger方程如下:)1,1(022xxuxuutu)1,1()()0,(xxfxu0),1(),1(tutu2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]16ChebyshevGalerkin方法(GalerkinMethodNjjjNxTtatxu0)()(),(•方程的近似解表达为，•由MWR准则得,011)(11222dxxxTxuxuutukNNNNNkaxuutakkNNk,,1,0,02NkdxxxTxuucxuukNNkkNN,,1,011)(21122020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]17ChebyshevTau方法(TanMethod•方程的近似解表达为，•由MWR准则得,•边界约束,20)()(),(NjjjNxTtatxu011)(11222dxxxTxuxuutukNNNNNkaxuutakkNNk,,1,0,0)2(NkdxxxTxuucxuukNNkkNN,,1,011)(2112evenkpkppkkakppca222)2()(10)1(,02020NkkkNkkaa2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]18ChebyshevCollocation方法(CollocationMethod)•选取节点系为N阶Chebyshev多项式的极值点,方程的近似解用下式表示，•由Collocation方程得,Nkkkxgxuu0)()(NmNmcxTxTccNxgmNjjkjjkk,01,02)()(12)(0kjjkxg)(1,,2,1,022NjxuxuutujxxNNNN0),1(),1(tutuNNNjxfxujjN,,1,0),()0,(2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]192.3小结•一种求解偏微分方程的高阶精度数值方法。•属于求解偏微分方程加权残量法的特例。•谱方法使用高阶正交多项式作为展开函数。•谱方法最受人青睐的优越性在于它具有“无穷阶”的收敛速度，其确切含义为，若原微分方程的解无限可微，则由适当的谱方法所得到的近似解对原问题的收敛速度比1/N的任何幂都更快，这里N是所取基函数的个数。•Kreiss和Oliger,Orszag•Gottlieb和Orszag2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]203谱元方法求解微分方程•回顾谱方法———使用加权残量法•谱元方法基本思想•常微分方程边值问题的Galerkin变分原理•偏微分方程的Galerkin变分原理•Galerkin逼近解•常微分方程元素矩阵的形成•偏微分方程元素矩阵的形成•极坐标系下环形区域的谱元方法•总刚度矩阵的形成2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]213.1回顾谱方法———使用加权残量法选取一组满足要求的基函数Njxj,...,1,0),(NiiiNaaxu0);(构造试函数，满足所有的边界条件选取一组权函数Njxwj,...,1,0),(利用MWR准则，得到ai的代数方程NjRwj,.......,1,00),(求解上述代数方程组，确定待定参数NiiiNaaxu0);(2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]223.2谱元方法基本思想•使用有限元方法的思想，将求解域分成若干子域•采用谱方法中谱近似技术代替有限元中的插值函数•采用有限元中等参单元,亦可逼近复杂求解边界基函数的选用在一个单元上选取在整个区域上选取计算精度不是太高比较高单元的选择三角形，四边形等四边形提高精度方法网格加密不改变插值次数增加基函数多项式的次数2020年8月12日Tel：82663537e-mail：[e-mail]233.3常微分方程边值问题的Galerkin变分原理考察二点边值问题上述问题的Galerkin变分问题是：求，使得，其中),