函数及其性质专题讲义

1数学专题2函数性质第一部分研究课标，掌握考点函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数（1,0aa）.（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数2132,1,,,xyxyxyxyxy的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.第二部分回归课本、编织网络第三部分专题训练、题型展示类型一：函数定义域：题型一：给解析式求定义域或参数范围例：下列函数中,与函数y=31x定义域相同的函数为（）A．y=1sinxB．y=1nxxC．y=xexD．sinxx练习：若)12(log1)(21xxf，则)(xf定义域为A.)0,21(B.]0,21(C.),21(D.),0(变式：1、函数xxf6log21)(的定义域为____.性质奇偶性单调性对称性周期性定义表示法概念函数定义域值域列表法解析法图像法函数图像平移变换对称变换翻折变换伸缩变换函数应用函数与方程基本初等函数函数根的分布二分法零点指数函数对数函数幂函数三角函数2２、已知函数f(x)=lg(x22mx+m+2)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；题型二：复合函数求定义域例：已知函数f(2x)的定义域为[1,2],求f(log2x)的定义域新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆变式：已知函数1()1xfxx的定义域为A，函数yffx的定义域为B，则()AABB()BABØ()CAB()DABB类型二：函数的值域：方法一：观察分析法（分离常数）；例：21xyx练习：1．函数221xyxRx的值域是__________．２．函数164xy的值域是_____３．求函数66522xxxxy的值域方法二：配方法例：已知函数13yxx的最大值为M,最小值为m,则mM的值为()A.14B.12C.22D.32数学专题2函数性质练习：１．22sin3cos1yxx的值域为_____；２．设函数2()1fxx，对任意,23x，24()(1)4()xfmfxfxfmm恒成立，则实数m的取值范围是.方法三：换元法（代数、三角换元法）；例：xxy142例：21xxy方法四：不等式法；例：(0)ayxax下面是常用的均值定理的一些变换方法（1）x0时，求43)(2xxxf的最大值（2）x3时，求32)(2xxxf的最小值（3）（1）中变形成4632xxy如何求最值（4）0x3时，求)3(2xxy的最大值3练习1：函数()1xfxx的最大值为()A.25B.12C.22D.12．函数0.51log(1)(1)1yxxx的值域是（）.A．(,2]B．(,2]C．[2,)D．[2,)3．对0x，不等式axxx132恒成立，则a的取值范围是____________4．函数)0(132xxxxy的最小值是（）(A)32(B)1+32(C)1+32(D)2+32方法五：单调函数法；例：求2322xxy的最小值练习．１．求1(19)yxxx的值域２．232log5xyx的值域为______变式１．若函数()yfx的值域是1[,3]2，则函数1()()()Fxfxfx的值域是()A.1[,3]2B.10[2,]3C.510[,]23D.10[3,]3２．已知函数()|lg|fxx,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是（A）(22,)(B)[22,)(C)(3,)(D)[3,)方法六：导数法例：已知函数2472xfxx，01x，,求fx的值域；变式：已知xxxfln)(，求fx的值域；方法七：图象法例．对a,bR,记max{a,b}=babbaa＜,,，函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是(A)0(B)12(C)32(D)3练习：１．用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值．设f(x)=min{2x，x+2，10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7２．已知函数|lg|,010,()16,10.2xxfxxx若,,abc互不相等，且()()(),fafbfc则abc的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)３．设21()1xxfxxx，≥，，，，()gx是二次函数，若(())fgx4的值域是0，∞，则()gx的值域是（）A.,11,B.,10,C.0，∞D.1，∞方法八：利用函数有界性方法九：构造法例：sincos2xyx练习：22105025yxxx数学专题2函数性质类型三：函数的单调性【方法规律】1．定义：如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、x2时，①都有，则称f(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.2．判断单调性的方法(1)定义法，其步骤为：①；②；③.(2)导数法，若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f(x)在这个区间上是增函数；②若，则f(x)在这个区间上是减函数.3、单调性的有关结论（1）在公共定义域内，同增和为增；同减和为减；一增一减差可定；（2）乘正数单调性不变，乘负数单调性相反；（3）在公共定义域内，两正项增函数乘积为增，减函数乘积为减；两负项函数结论相反；一正一负不易判断。（4）．若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)函数；（5）．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；（6）．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f(x),g(x)的单调性相反，则f[g(x)]为.题型一：利用单调性比较大小例1：定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,[0,)()xxxx，有2121()()0fxfxxx.则A(3)(2)(1)fffB.(1)(2)(3)fffC.(2)(1)(3)fffD.(3)(1)(2)fff练习：１．定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1212,(,0]()xxxx，有2121()(()())0xxfxfx.则当*nN时,有(A)()(1)(1)fnfnfn(B)(1)()(1)fnfnfn(C)(1)()(1)fnfnfn(D)(1)(1)()fnfnfn２．已知函数sin,fxxxRx，则,,134fff的大小关系为（）A．134fffB．134fffC．134fffD．134fff３．已知lnx，2log5y，21ez则（）A．zyxB．yxzC．xyzD．xzy４．设232555322555abc（）,（），（），则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a题型二：求参数范围例：已知函数113)41()(xaxaxaxfx在R上为减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．[121，41）C．（，41）D．（41，1）练习：1．已知(2)1(1)()(1)xaxxfxax满足对任意121212()(),0fxfxxxxx都有成立，那么a的取值范围是（）A．3[,2)2B．3(1,]2C．（1，2）D．(1,)2．已知f(x)＝)xx(lg782在)m,m(1上是增函数,则m的取值范围是类型四：函数的奇偶性：【方法规律】①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具5有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.③.分类：（1）奇函数（2）偶函数（3）既奇又偶函数（4）非奇非偶函数3）．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.题型一：判断函数的奇偶性例1、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数练习：１．判断下列函数奇偶性：（1）21()22xfxx（2）11()312xfx2．若(2)()()xxmfxx为奇函数,则实数m______.例2：若0lglgba（其中1,1ba），则函数xxbxgaxf)()(与的图象（）.A．关于直线xy对B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于原点对称４．已知函数21()43xfxxx，则()fx的图像关于（）A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线yx对称５．函数xxxf214)(的图象A．y轴对称B．直线xy对称C．坐标原点对称D．直线xy对称题型二：求值例．已知函数||sin1()()||1xxfxxRx的最大值为M，最小值为N，则A.NM=4B.NM=2C.NM=4D.NM=2题型三：奇偶性与单调性综合例：设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不