立体几何证明平行的方法及专题训练

1FGGABCDECABDEF立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜[e-mail]立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行的性质，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形EFBACDP（第1题图）2DEB1A1C1CABFM3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA4、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBACD=2AB,E为PC的中点,证明://EBPAD平面;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。分析：法一：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线法二：证平面EGF∥平面ABC，从而AM∥平面EFG6、如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，2,ABACAA′=1，点M，N分别为/AB和//BC的中点。ABCDEFGM3证明：MN∥平面//AACC;分析：连结AC1，，则MN是则△A1BC1的中位线，7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明:BC1//平面A1CD;分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则DF//BC19、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OM∥PA从而PA∥平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP∥GH.（.3）利用平行四边形的性质10．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形4PEDCBA11、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.求证：AE∥平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．（I）证法一：因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，90ACB，所以90,EGFABC∽.EFG由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，BCFG21在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且BCAM21因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面ABFE。(4)利用对应线段成比例13、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，（1）SMAM=NDBN，求证：MN∥平面SDC（2）AMDNSMBN,求证：MN∥平面SBC分析：法一：过M作ME//AD，过N作NF//AD利用相似比易证MNFE是平行四边形5法二：连接AN并且延长交CD或CD的延长线于E点，连结SE，则易证MN∥SE,于是MN∥平面SDC，同理连接AN并且延长交BC或BC的延长线于F，连结SF，则易证MN∥SF,于是MN∥平面SBC14、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形（6）利用面面平行15、如图，三棱锥ABCP中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP.求证：//CM平面BEF；分析:取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//平面EFB16、如图,在直三棱柱111ABCABC中，3AC，4BC，5AB,14AA，点D是AB的中点，（1）求证：1ACBC；（2）求证：11CDB//平面AC；（3）求三棱锥11CCDB的体积。分析:取A1B1的中点E，连结C1E和AE，易证C1E∥CD,AE∥DB1，则平面AC1E∥DB1C,于是11CDB//平面ACAFAEABACADAMANA6NMB1C1D1A1DCBAPNMB1C1D1A1DCBAPNMB1C1D1A1DCBA17在长方体1111ABCDABCD中,11,2ABBCAA,点M是BC的中点,点N是1AA的中点.(1)求证://MN平面1ACD;(2)过,,NCD三点的平面把长方体1111ABCDABCD截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法1：设点P为AD的中点，连接,MPNP.∵点M是BC的中点,∴//MPCD.∵CD平面1ACD,MP平面1ACD,∴//MP平面1ACD.…2分∵点N是1AA的中点,∴1//NPAD.∵1AD平面1ACD,NP平面1ACD,∴//NP平面1ACD.…4分∵MPNPP,MP平面MNP,NP平面MNP,∴平面//MNP平面1ACD.∵MN平面MNP,∴//MN平面1ACD.…6分证法2:连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P,连接1AP,∵点M是BC的中点,∴BMMC.7QNMB1C1D1A1DCBA∵BMACMP,90MBAMCP,∴RtMBARtMCP.…2分∴AMMP.∵点N是1AA的中点,∴1MN//AP.…4分∵1AP平面1ACD,MN平面1ACD,∴//MN平面1ACD.…6分(2)解:取1BB的中点Q,连接NQ,CQ,∵点N是1AA的中点,∴//NQAB.∵//ABCD,∴//NQCD.∴过,,NCD三点的平面NQCD把长方体1111ABCDABCD截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBCNAD,另一部分几何体为直四棱柱1111BQCCANDD.…8分∴11111222QBCSQBBC,∴直三棱柱QBCNAD的体积112QBCVSAB,…10分∵长方体1111ABCDABCD的体积112V2,∴直四棱柱1111BQCCANDD体积2132VVV.…12分8∴12VV123213.∴所截成的两部分几何体的体积的比值为13.…14分