一元二次不等式的解集

1、复习:2220(0)(0)0(0)axbxcayaxbxcaaxbxca一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间有什么关系？判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1ab2ab2一元二次不等式的解法2.解不等式:2134;xx（）3．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．2(2)(1)(30)0;xxx210{24},,xqxpAxxpqp若的解集求实数的值(2)(4)024xxx[解一]构造二次不等式，使其解为。2(2)(4)0680.xxxx由得210xqxpp它与同解，0.p220xpqxp26,32{22,.8.2pqpqp比较系数得解得题型1:已知不等式的解集,讨论字母系数的二次不等式问题例:21[]0024.pxqxpp解二由题设知，且方程两根为和268.pqp得，3222,2pq解出解题回顾:解决此类问题大致有两种方法:一是待定系数法(如解一),它是由解集构造不等式,再比较系数,确定字母的值;二是将不等式转化为方程后,利用韦达定理,求得结果(如解二)思考题220{|23}0axbxcxxxaxbxc已知二次不等式的解集是：或，则的解集？题型2:解含参数的一元二次不等式例解下列不等式:2560(0)axaxaa042axx2(1)0(0)xaxaa1)2)3))0(01)1(2axaax4)1)解不等式分析：本题二次项系数含有参数,故需对二次项系数进行分类讨论解032)65(2xxaxxa0a当时解集为32|xxx或当0a时解集为32|xx2560(0)axaxaa2)解不等式042axx2x分析:本题中由于与根的情况。的系数大于0,故只需考虑解：∵162a4,40a当即时R∴原不等式解集为；40a当即时,2axxRx且原不等式解集为；440aa当或即时，,此时两根分别为21621aax21622aax，显然21xx,∴原不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或4.解不等式)0(01)1(2axaax分析：此不等式可以分解为0)1(axax故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：0)1(axax令aa1可得：1a101aa当或时，aa1故原不等式的解集为axax1|11aa当或时，aa1101aa当或时，aa1axax1|故原不等式的解集为故原不等式的解集为解题回顾:1.含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式其解题过程实质一样,结合二次函数的图象和一元二次方程分三级讨论:1)讨论二次项前系数的符号;2)讨论判别式的符号;3)当时,讨论方程两根的大小关系2.分类标准要明确,分类要做到不重不漏.12xx与0222.210;(2)560.xxmxmmxaxa2练习解关于的不等式(1)（）-+++--若函数f(x)=2221xaxa的定义域为R，则a的取值范围为___220212xaxa220xaxa2(2)40(1)010.aaaaa题型3:有关恒成立求参数取值范围例1.例2、不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.分析：开口向下，且与x轴无交点。解：由题目条件知：(2)a＜0，且△＜0.因此a＜-1/3。（1）a=0时，不等式为-x-1＜0不符合题意31|aa综上所述：a的取值范围是2()1.fxmxmx设函数(1),()0xfxm若对于一切实数恒成立，求的取值范围.210.mxmx解：要求恒成立20040,mmmm当时，应有，40.mm综合两种情况可得的取值范围为例3.0m当时，显然恒成立；40.m解之得12.xx即所求的取值范围.2()5(1)60.fxmmmxx解：将变换成关于的不等式2[2,2]()(1)60mgmmxx则命题等价于：时，恒成立，210,()[2,2]xxgm在上单调递增，22(2)2(1)6020gxxxx只要，即，(2)[2,2],()5mfxmx若对于恒成立，求的取值范围.解题回顾:将解关于x的不等式转化为关于字母m的函数式，借助函数f(m)的几何背景，充分运用的条件，是解决此题的最佳方案．当(12)x，时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是___构造函数：2()4,fxxmx[12]x，由于当(12)x，时，不等式240xmx恒成立(1)0,(2)0ff140,4240mm5m若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，12）成立，则a的取值范围是?解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝a2－若a2－12，即a－1时，则f（x）在〔0，12〕上是减函数，应有f（12）0－52x－1若a2－0，即a0时，则f（x）在〔0，12〕上是增函数，应有f（0）＝10恒成立，故a0若0a2－12，即－1a0，则应有f（a2－）＝222aaa110424－＋＝－恒成立，故－1a0综上，有－52a小结:利用三个“二次”的关系,运用数形结合,分类讨论和等价转换的思想方法解决有关含参数的一元二次不等式问题.