《2.1-数列的概念与简单表示法》课件资料

12.1数列的概念与简单表示法第二章数列学.科.网264个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推……3456781567812334264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子2213263220212??184467440737095516154三角形数1,3,6,10,.…..正方形数1,4,9,16,……传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？学.科.网5上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：633222221，，，，，，，，4131211354321，，，，1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：1111，，，，，，，1111无穷多个1排列成的一列数：三角形数：1，3，6，10，···正方形数：1，4，9，16，···学科网6633222221，，，，354321，，，，1111，，，，，，，1111共同特点：1.都是一列数；2.都有一定的顺序12345，41，31，211，1，3，6，10，···1，4，9，16，···学科网7定义：按一定顺序排列着的一列数称为问1：数列，2，改为13，…，35,2，，…，35331请问：是不是同一数列？问2:数列4改为：-1，1，-1，1……1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？(数列具有有序性)812345，，，，1111354321，，，，，，，，4131211633222221，，，，1111，，，数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项，······数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。有穷数列无穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列摆动数列常数列zxxkw912345数列的一般形式可以写成：简记为,其中，，，，，naaaa321是数nana第1项第2项第3项第n项的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，1111-12,,,,,22,12n632,,,,2131n1,,,,23n,,,,3511-n)1-(,,,,,11,,,1,1a2a3anana列的第n项。02121112n)64,(*nNn}{n1{}n)35,(*nNn那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如果数列na12nnan1nannan)1(-=1na)(*Nn)(*Nn)(*Nn10三.数列的表示方法第n项数列的一般形式：或简记为.,,,,,321naaaana与的区别是什么？nana表示数列，而只表示这个数列的第n项.na,,,,,321naaaana第1项(或首项)序号1.列举法112序号n1234…20223242202…项na2nna数列的通项公式.nana数列的第n项与n之间的关系(公式)数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，那么数列的通项公式也就是相应函数的解析式.1a2a3a2.通项公式法12123456710987654321yx*2,20nnanNn特点：它们都是一群孤立的点.123456710987654321yx7,3*nNnnan且3.图象法13（1）（2）1nnannann1na例1根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：解：（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为na.65,54,43,32,21（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，那么数列的前5项为na－1，2，－3，4，－5.14例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：12nan15（2）;515,414,313,2122222解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：121112nnnnnan16（3）.541,431,321,211解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnannzxxkw17观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：128),(,32,16),(,4,2)1(49),(,25,16,9,4),)(2()(,61,51-,41),(,211,-)3(7),(,5,2),(,2,1)4(86413631-71-3618数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？基础知识梳理【思考·提示】不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1(n为奇数)1(n为偶数)，有的数列没有通项公式．19122.544.534567a1a2a3a4a512345xynan通项公式：数列{an}的第n项an与n的关系式数列是一种特殊函数！定义域是N*(或它的有限子集)zxxkw20（1）数列{an}中是一列数，而集合中的元素不一定是数；（2）数列{an}中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；（3）数列{an}中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。思考：数列与集合的概念有何区别21问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（n∈N，n1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。22定义已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.23递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．24例1.已知数列{an}的第一项是1，以后的各项由公式讲解范例:111nnaa写出这个数列的前五项.给出，25例1.已知数列{an}的第一项是1，以后的各项由公式讲解范例:111nnaa写出这个数列的前五项.给出，.58,35,23,2,126小结：则项之和为的前若记数列,}{nnSna1)(2)(11nSnSSannn27课堂小结1.递推公式的概念；28课堂小结1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：29课堂小结1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.30课堂小结1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他项.31课堂小结1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他项.3.用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.32思考题：1、写出下列数列的一个通项公式：（1）1，－1，1，－1；（2）2，0，2，0；（3）9，99，999，9999；（4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案：（1）（2）（3）（4）nnnnnnnnaaaa10111011111zxxkw33