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ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques电磁场与电磁波Electromagneticfieldsandelectromagneticwaves第17讲恒定电场的基本方程黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:89502331Email:huanghf@scut.edu.cnResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第17讲内容电流连续性方程恒定电场的基本方程导电媒质内的体积电荷电流稳恒条件恒定电场的边界条件例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology17.1电流连续性方程体电流密度为J的空间中，从任一闭合面S流出的总电流(也即单位时间里从S内被迁移出的电荷)必定等于由S所包围的体积V中单位时间里电荷的减少量式(3-19)中的全导数并可移入体积分号内，即()0VdVtρ∂∇⋅+=∂∫J或(319)SVqddVttρ∂∂⋅=−=−−∂∂∫∫JSv(320)SVddVtρ∂⋅=−−∂∫∫JSv3-21tρ∂∇⋅=−∂J（）电流连续性方程微分形式电流连续性方程积分形式ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology17.2恒定电场的基本方程在恒定电场中，电场和电荷的空间分布是不随时间改变，即有因而电流连续性方程式(3-20)和式(3-21)变为：恒定电流场是一个无源场，电流线是连续闭合的。它和电场线不同，电流线没有起点和终点。=E03-23σ∇⋅∇⋅=JGG（）(320)SVddVtρ∂⋅=−−∂∫∫JSv3-21tρ∂∇⋅=−∂J（）ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology取积分路径不经过电源，则因此由不随时间变化的(处在动态平衡下的)驻立电荷产生的库仑电场必定同静电场具有相同的无旋性质，恒定电场是无旋场。即也是保守场；由于E的无旋性，电源以外的恒定电场同样可以用电位的梯度函数来表示，即式(3-26)代人式(3-23)后，可得0(324)()0lsdd⋅=−∇×⋅=∫∫ElESv斯托克斯定理标量拉普拉斯方程=E03-23σ∇⋅∇⋅=JGG（）17.2恒定电场的基本方程ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology可见，电源以外的恒定电场的电位函数足拉普拉斯方程。显然，电源以外的恒定电场既无旋又无散，电源以外的恒定电场的基本方程为:积分形式：微分形型线性各向同性的导电媒质中：常关注媒质的导电特性、媒质中的电流、电场分布及其中的焦耳功率损耗，因此体电流密度矢量J和电场强度E是基本场矢量。17.2恒定电场的基本方程ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology17.3导电媒质内的体积电荷恒定电场中不均匀的导电媒质内有可能积累体积电荷，其密度因为是恒定电场导电媒质的介电常数；为其电导率。可见，在不均匀媒质中，由于之值不是处处为常数)，体积电荷一般不为O。这些体积电荷是在媒质中的电流进人稳恒之前积累的。对均匀媒质，处处为常数，则媒质中没有体积电荷的堆积。在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体中时，即便是均匀导体，其体积电荷也是不为0的。这时，据电流连续性方程，有：ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology上式表明体积内的将随时间按指数规律衰减，其时间常数为称为弛豫时间，对大多数金属导体是一个非常短的这说明电流一进入导体，便迅速向导体表面扩散，直至在导体表面上积聚的电荷分布使电场和电流进入稳恒状态，边界上的电荷分布不再变化，导体进入恒定电场状态，其内部17.3导电媒质内的体积电荷ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology17.4电流稳恒条件1、电流连续性方程的物理意义：表示S面内正电荷减少。此时说明流出的电流线多于流入的电流线(多余的那一部分电流线是自S面内发出的)。表示S面内正电荷增加。此时说明流入的电流线多于流出的电流线(多余的那部分终止于S面内)。(320)SVddVtρ∂⋅=−−∂∫∫JSv3-21tρ∂∇⋅=−∂J（）ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology2、电流的稳恒条件：一般说来，电流场是随时间变化的，在特殊情况下，如果电流的J场不随时间而变化，那么这样的电流就叫作稳恒电流。在稳恒电流场中，由于各点的电流密度J不随时间变化，这就要求电荷的分布必须是恒定的，即对于导体中任意闭合曲面来说，面内的电荷对时间的变化率零，在这种情况下(320)SVddVtρ∂⋅=−−∂∫∫JSv3-21tρ∂∇⋅=−∂J（）17.4电流稳恒条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在稳恒电流场中，从任意闭合曲面一侧穿入多少条电流线，也一定从另一侧穿出多少条电流线，电流线一定是连续的通过该曲面，不可能中断。否则将出现电荷的积累或亏损，从而破坏稳恒条件。而电荷所激发的电场也是不随时间而变化的。这种与稳恒电流场相伴的电场叫作稳恒电场。稳恒电场遵从静电场的基本规律，它与静电场不同的是在稳恒电场中，可以有电荷流动，在导体内部场强可以不等于零。17.4电流稳恒条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology[例1]当金属导线中有稳恒电流通过时，导线内出现的电场有什么性质?它与静电场有什么区别?答：当金属导线中有稳恒电流流过时，导体内部出现的电场称为稳恒电场。激发稳恒电场的电荷分布是不随时间而变化的。静电场的基本规律如高斯定理、环路定理等对稳恒电场都适用。这就是说它与静电场具有相同的性质。激发静电场的电荷不但其分布不能随时间而改变，而且还必须是静止的。从这里可以看出静电场是稳恒电场的一个特例。在静电平衡条件下，静电场中的导体内部场强一定为零，不能有电荷的流动。而在稳恒电场中，导体内部的场强可以不为零，可以有电荷的流动。17.4电流稳恒条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在图3-5a中的扁圆柱形闭合面有:上式表明在分界面上电流密度矢量对界面的法向分量是连续的。17.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology恒定电场与静电场有相同的电场切向分量边界条件，即0(324)ld⋅=−∫ElvP6817.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在电源外的恒定电场中，不同媒质的分界面边界条件为用电位函数表示为：由式(3-31)还可以导出分界面上的电流矢量线的折射关系，即17.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology进一步的分析环可得到：亦即在良导体与不良导体的分界面上，良导体的表面可以近似地看作等位面，如图3-6所示。例如同轴线的内、外导体柱面是由或铝制成的，而填充在内外导体之间的材料的数量级，由式(3-33)可知，聚乙烯里的电场与同轴线内、外导体柱17.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology以至可以认为是近似此由良导体进入不良导体时，在不良导体里的电流线近似地与良导体表面垂直，亦即良导体表面可以近似地看作等位面，这与静电场中的导体相似。如果没有种相似是不成立的，因为恒定电场中，导体内的电场不为0，导体不是等位体，其表面不会是会令良导体表面近似为等位面的这一结论很有用。例如，在计算接地器的接地电阻时，土壤是不良导体而接地器一般由良导体制成，则土壤中的接地器表面均可近似看作等位面而使计算简化。②恒定电场中两种不同导电媒质的分界面上一般有自由面电荷分布。如两种非理想介质的分界面上，自由面电荷17.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology为：两种非理想介质的分界面上一般是有自由面电荷存在的。(这和静电场中两种理想介质是极不相同的。）假如两种不同的导电媒质是不同电导率的金属导体，则因金属导体的介电常数一般可即其极化率非常小，与真空相仿因此，恒定电场中不同导电媒质的分界面上常有自由面电荷存在。17.5恒定电场的边界条件ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology例3-2极板面积为S的平行板电容器的两块极板之间的空间填充了两种有损均匀介质，它们的厚度、介电常数和电导率分别为现将电压U加于两极板，如图3-7所示。求：①极板间的电流密度J②两种电介质中的电场强度③极板上和介质分界面上的自由面电荷。解①设通过电容器的总电流为I，由于导极板的电导率远大于有损介质的电导率，故据式(3-33)可知，介质中的电流近似垂直于导板面，并同时垂直于两介质的分界面；又由于介质均匀及J的法向分量在两种介质分界面上连续，故可得：17.6例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology因为即两板之间的电流密度相同，为：②两种电介质中的电场强度分别为：③在上、下板面与介质的分界面上及两种介质的分界面上分别应用界面条件可得极板面上面电荷17.6例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology介质分界面上的面电荷17.6例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology小结电流连续性方程恒定电场的基本方程导电媒质内的体积电荷电流稳恒条件恒定电场的边界条件例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology习题P109：3-8，3-10
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