《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1.在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件2.若a∥b，Acb，则ca,的位置关系是（）A.异面直线B.相交直线C.平行直线D.相交直线或异面直线3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（）A48B64C96D1925.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25B．50C．125D．都不对6.已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（）A22B233C423D4337.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若//,,ln，则//lnB．若,l，则lC.若,//ll，则D．若,lnmn，则//lm8.如图，在正方体1111ABCDABCD中，EFGH，，，分别为1AA，AB，1BB，11BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°9.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.010.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a//,a//C.直线a,直线b,且a//,b//D.内的任何直线都与平行二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为_____，面积为______cm2．12.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．13.已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为.14.正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿15.如图，△ABC是直角三角形，ACB=90，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。其中正确结论的序号为＿＿＿＿三、解答题（本大题共4小题，共60分）17.（10分）如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：AB⊥BCAFDBCGE1BH1C1D1AABCPD'C'B'A'O'Y'X'PEDCBA18.（10分）在长方体1111DCBAABCD中，已知3,41DDDCDA，求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值。.19.（12分）在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.(1)求证：AE∥平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC.20.（14分）如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，90ABC，PBAE于E，PCAF于F求证：（1）BC平面PAB；（2）AE平面PBC；PABCFEPCBA（3）PC平面AEF．21.（14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01).AEAFACAD（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？《立体几何初步》测试题参考答案1-5DDABB6-10DCBCD11.矩形812.2513.平行或在平面内；FEDBAC14.正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a32,32,1322aaarrarrrr内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：：15.416.（1）（2）（4）17.证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC，得AD⊥平面PBC，故AD⊥BC，又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB18.连接DA1，DBACBDA111,//为异面直线BA1与CB1所成的角.连接BD，在△DBA1中，24,511BDDABA，则DABABDDABADBA112212112cos259552322525.19.(1)证明:取PC的中点M,连接EM,则EM∥CD，EM=21DC,所以有EM∥AB且EM=AB,则四边形ABME是平行四边形.所以AE∥BM,因为AE不在平面PBC内,所以AE∥平面PBC.(2)因为AB⊥平面PBC，AB∥CD,所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM.由(1)得,BM⊥PC,所以BM⊥平面PDC，又AE∥BM,所以AE⊥平面PDC.20.证明:(1)∵PA平面ABC，∴BCPA，∵90ABC，∴BCAB，又AABPA∴BC平面PAB.(2)∵BC平面PAB且AE平面PAB，∴AEBC，又∵AEPB，且BPBBC，∴AE平面PBC.(3)∵AE平面PBC，∴PCAE，又∵PCAF，且AAFAE，∴PC平面AEF．21.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又),10(ADAFACAE∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴,660tan2,2ABBD,722BCABAC由AB2=AE·AC得,76,76ACAEAE故当76时，平面BEF⊥平面ACD.