拉普拉斯变换及线性微分方程求解

拉普拉斯变换及线性微分方程求解拉普拉斯变换的定义几种典型信号的拉氏变换拉氏变换的积分下限拉氏变换的基本性质拉氏反变换微分方程的求解1、定义：函数f(t),t为变量。如下述线性积分存在，则称其为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。dtetfst0)((s为复变量)j拉普拉斯变换及线性微分方程求解一、拉普拉斯变换的定义2.记作：F(s)或L［f(t)］3.拉氏反变换：)()()]([0sFdtetftfLst)()(21)]([1tfdtesFjtfLstjj一、拉普拉斯变换的定义1、单位阶跃函数sesdtettLsFstst1|1)(1)](1[)(00二、几种典型函数的拉氏变换)(1)(ttf1t00t01f(t)t02.单位斜坡函数200011|)(1)](1[)(sdtesestdtettttLsFststst)(1)(tttftt00t0f(t)t0二、几种典型函数的拉氏变换3、等加速度函数4、指数函数)(121)(2tttf30221)(121)](121[sdtettttLstasdtedteeeLasstatat1][0)(0f(t)t05、正弦函数sint2200]11[21)(21sin][sinsjsjsjdteeejdttetLsttjtjst1)(dtt且dtettLst0)()]([6、单位脉冲函数)()(ttf0t0t=00)(0dtetst1)()()()(000000dtetdtetdtetdtetstststst三、拉氏变换的积分下限问题0)(t型拉氏变换0)(t型拉氏变换1、线性性质设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],a和b都是常数，则)()()]([)]([)]()([212121sbFsaFtfbLtfaLtbftafL四、拉氏变换的几个基本规则2、微分法则设F(s)=L[f(t)]，则)0()(])([fssFdttdfL)0()0()(])([222fsfsFsdttfdL)0()0()0()(])([)1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL四、拉氏变换的几个基本规则……四、拉氏变换的几个基本规则3、积分法则设F(s)=L[f(t)]，则)0(1)(1])([)1(0fssFsdttfLt)0(1)0(1)(1]))(([)2()1(222fsfssFsdttfL)0(1)0(1)(1]))(([)()1(nnnnnfsfssFsdttfL……4、终值定理若函数f(t)的象函数为F(s)，且F(s)在s平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则由终值)(lim)(lim0ssFtfst四、拉氏变换的几个基本规则难点：F(s)在s平面的右半平面及除原点外的虚轴上解析。意思是：F(s)的分母，令分母等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴上，即位于左半平面及原点上。五、拉普拉斯反变换)()(21)]([1tfdtesFjtfLjjst由F(s)求f(t)常用部分分式法nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110)()()()())(()(21nsssssssA)())(()()()(211110nmmmmssssssbsbsbsbsAsBsF五、拉普拉斯反变换1、A(s)=0无重根nniissCssCssCssCsF2211)(n1iiis-sCF(s)或n1itsin1iii1-1-ieC]s-sC[Lf(t)[F(s)]LF(s))s-(slimCissii例：求的拉氏变换。解：求于是)2)(1(3)(ssssF21)2)(1(3)(21sasassssF1)2()2)(1(3,2)1()2)(1(32211ssssssassssatteesLsLsFLtf21112]21[]12[)]([)(六、线性定常微分方程的解Ur(t)Uc(t)LRCi(t)[例3]L=1H，C＝1F，R＝1，且电容上初始电压uc(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V，求电压uc(t)的变化规律。［解］系统微分方程为)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc方程两边拉氏变换得)()()]0()([)]0()0()([2sUsUussURCususUsLCrccccccViCtiCdttduuttcc1.0)0(1)(1)()0(00由于将L，R，C，uc(0)，uc’(0)，代入得到12.01.01)()(22ssssssUsUrc由于Ur(s)=1/s，故有75.0)5.0(75.075.095.175.0)5.0()5.0(1.075.0)5.0(75.075.05.075.0)5.0()5.0(112.01.0111)(222222ssssssssssssssUctetetetetuttttc866.0cos2575.2866.0sin1.0866.0cos6667.0866.0sin1)(5.05.05.05.0拉氏反变换得tetetuttc866.0cos59.1866.0sin9.01)(5.05.0还可以用如下方法求解系统的特征方程为012ss特征方根为866.05.02,1js系统的特解为uc(t)=1齐次通解解为tjtjeCeC)866.05.0(2)866.05.0(1系统的通解为tjtjeCeC)866.05.0(2)866.05.0(11用待定系数法即可求出C1、C2。考虑初始条件，对微分方程两边进行拉氏变换；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数的表达式进行拉氏反变换。拉氏变换求解微分方程的一般步骤课堂练习：P64-2-5(2)作业：P702-5(选做一题)