中国科学技术大学概率论与数理统计试卷及答案

中国科学技术大学2002—2003学年第二学期考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系：姓名学号：（考期：2003年6月30日，闭卷，可用计算器）一、考虑如图所示的电路图：其中开关A、B、C、D、E是独立工作的，每个开关以概率p开着，以概率q=1-p关着，求一个输入的信号在输出处被接收到的概率；如果一个信号被接收到，那么开关E是开着的条件概率是多少？二、设(𝑋𝑋,𝑌𝑌)的联合密度函数为：𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=�𝑐𝑐,|𝑦𝑦|𝑥𝑥,0𝑥𝑥1;0,𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒求(1)常数C的值；(2)条件密度函数𝑓𝑓𝑋𝑋|𝑌𝑌(𝑥𝑥|𝑦𝑦)及𝑓𝑓𝑌𝑌|𝑋𝑋(𝑦𝑦|𝑥𝑥)；(3)讨论X与Y的独立性和相关性。三、在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领取1000元的保险金，问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司一年的利润不少于40000元、60000元的概率各多大？四、设),,,(21nXXX是从总体X中抽取的一个简单随机样本，已知X的概率密度函数为：𝑓𝑓(𝑥𝑥)=�𝑒𝑒−(𝑥𝑥−𝜃𝜃),𝑥𝑥𝜃𝜃;0,𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒其中𝜃𝜃是未知参数，−∞θ∞。(1)试求𝜃𝜃的极大似然估计𝜃𝜃�和矩估计𝜃𝜃�；(2)求常数𝑐𝑐1和𝑐𝑐2，使得𝑐𝑐1𝜃𝜃�−𝑐𝑐2为𝜃𝜃的无偏估计；(3)求常数𝑐𝑐3和𝑐𝑐4，使得𝑐𝑐3𝜃𝜃�−𝑐𝑐4为𝜃𝜃的无偏估计；(4)在均方误差意义下比较这两个无偏估计哪个更优。（注：上述常数可与n有关）五、据信有一种疾病会导致病人的白细胞数目较常人少，假设正常人白细胞数服从均值为7250（单位：个/立方毫米，下同）的正态分布，现有16个病人，其白细胞的样本均值为4767，样本标准差为3204，根据这批数据能否认为这种疾病使白细胞数ACBDEp目减少？（显著性水平为𝛼𝛼=0.05）自由度为n的t分布的p分位数表n0.900.950.9750.99151.3411.7532.1312.602161.3371.7462.1202.583六、在[0,1]区间上随机独立地投掷两点，设X与Y分别表示这两点的坐标，试求这两点间距离的概率密度函数、数学期望和方差。中国科学技术大学2003—2004学年第一学期考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系：姓名学号：（考期：2004年1月8日，闭卷，可用计算器）一、甲、乙、丙三人独立地向靶子各射击一次，其命中率分别为0.6、0.5和0.4.现已知恰有两人命中靶子，问：（1）此两人中包括丙的可能性大，还是不包括丙的可能性大？（2）此两人中包括乙的可能性大，还是包括丙的可能性大？（要求写出计算过程）二、某种商品一周的需求量是个随机变量，其概率密度为：𝑓𝑓(𝑡𝑡)=�𝑡𝑡𝑒𝑒−𝑡𝑡,𝑡𝑡00,𝑡𝑡≤0各周的需求量相互独立，试求：（1）两周需求量的概率密度；（2）三周需求量的概率密度。三、利用中心极限定理求解：（1）设计算机在进行加法运算时，每次取整的误差相互独立，且服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若要保证误差总和的绝对值不超过20的概率大于或者等于0.95，问至多只能进行多少次加法运算？（2）𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛→∞∑𝑛𝑛𝑘𝑘𝑘𝑘!𝑒𝑒−𝑛𝑛=?𝑛𝑛𝑘𝑘=0四、设样本),,,(21nXXX抽自总体𝑋𝑋~𝑓𝑓(𝑥𝑥;𝜃𝜃)，其中：𝑓𝑓(𝑥𝑥;𝜃𝜃)=12𝑒𝑒−𝑥𝑥−𝜃𝜃2,(𝑥𝑥𝜃𝜃;𝜃𝜃∈𝑅𝑅)（1）试求𝜃𝜃的矩估计𝜃𝜃�和极大似然估计𝜃𝜃∗；（2）验证𝜃𝜃�和𝜃𝜃∗是否为𝜃𝜃的无偏估计，若不是无偏估计，试将其分别修正为无偏估计𝜃𝜃�1和𝜃𝜃�2；（3）比较𝜃𝜃�1和𝜃𝜃�2何者为优？五、为考察钢铁工人和电厂工人平均工资的差别，从两厂各抽取若干工人调查，结果如下：钢厂：74，65，72，69（元）电厂：75，78，74，76，72（元）若钢厂工人与电厂工人工资分别服从正态分布𝑁𝑁(𝜇𝜇1,𝜎𝜎12)与𝑁𝑁(𝜇𝜇2,𝜎𝜎22)，总体独立且均值方差未知，试据上述数据判断：（1）是否可以认为𝜎𝜎12=𝜎𝜎22？（𝛼𝛼=0.05）（2）钢铁工人平均工资是否低于电厂工人平均工资？（𝛼𝛼=0.05）Y中国科学技术大学2003—2004学年第二学期考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系：姓名学号：（考期：2004年6月25日，闭卷，可用计算器）一、判断和填空：（1）设P(A)=0，则A为不可能事件。（2）设(X,Y)服从二元正态，Cov(X,Y)=0,则X、Y相互独立。（3）设X、Y相互独立，则X、Y的联合分布可以由X和Y的边缘分布唯一确定。（4）设𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛为从同一个总体中抽取的一个样本，则𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛)−𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛)+3是统计量。（5）设θ0，X的概率分布函数为：𝐹𝐹(𝑚𝑚)=�1−𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒�−𝑚𝑚−𝜇𝜇𝜃𝜃�0,𝑚𝑚𝜇𝜇,𝑚𝑚≥𝜇𝜇则随机变量X的密度函数为（）。（6）设X、Y服从单位圆𝑚𝑚2+𝑦𝑦2≤1上的均匀分布，则在给定Y=0.5条件下的X的条件密度函数为（）。（7）设X和Y相互独立，它们的均值全为0，方差全为1，记V=X-Y，则X与V的相关系数为（）。二、求：（1）P(Y=2|X=1)；(2)𝑋𝑋2+𝑌𝑌2的分布，其中X、Y的联合分布如下：X-1012-10.120.080.300.1510.080.2200.05三、设X服从期望为2的指数分布，Y服从(0,1)上的均匀分布，且X与Y相互独立，求：（1）X-Y的概率密度函数；（2）P(XY)。四、桌上有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔，乙盒中装有4支红芯圆珠笔，2支蓝芯圆珠笔，丙盒中装有3支红芯圆珠笔，3支蓝芯圆珠笔，今从三个盒子中任取一支笔，设甲乙丙三盒取笔的概率相等。试求：（1）取得红笔的概率；（2）在已知取得红笔的条件下，问笔从哪个盒子中取出的概率最大？五、某工厂生产线甲根据专利生产灯泡，生产线乙根据本厂原有技术生产。现分别在生产线甲和乙两条生产线各抽取8个灯泡，测得其寿命分别为（千小时）：对生产线甲：10，9，3，11，5，7，9，11；对生产线乙：4，9，6，5，3，5，7，7；设灯泡寿命服从正态分布，且方差相等。试分别在显著性水平𝛼𝛼=0.05和𝛼𝛼=0.01下检验生产线甲的灯泡是否比生产线乙生产的寿命要长。六、设总体X服从(1,𝜃𝜃+1)上的均匀分布，𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛为总体X中抽取的一个样本。试求：（1）求𝜃𝜃的矩估计𝜃𝜃�1和极大似然估计𝜃𝜃�2；（2）𝜃𝜃�1和𝜃𝜃�2是否为𝜃𝜃的无偏估计，若不是，请加以修正；（3）𝜃𝜃�3=2𝜃𝜃�4−2是𝜃𝜃的无偏估计，其中𝜃𝜃�4=2𝑋𝑋1+𝑋𝑋2+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛−1+2𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛+2，问𝜃𝜃�1的修正（如果需要修正的话）和𝜃𝜃�3哪个更有效？中国科学技术大学2004—2005学年第一学期考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系：姓名学号：（考期：2005年1月20日，闭卷，可用计算器）一、甲、乙、丙三门火炮同时独立地向目标射击，其命中率分别为0.2，0.3和0.5。目标被命中一发而被摧毁的概率为0.2，被命中两发而被摧毁的概率为0.6，被命中三发而被摧毁的概率0.9，试求：（1）三门火炮在一次射击中摧毁目标的概率；（2）在目标被摧毁的条件下，其只由甲火炮击中的概率。二、设X与Y独立同分布，都服从参数为𝜆𝜆的指数分布，试求Z的分布密度，其中：（1）Z=min{X,Y}；（2）Z=X+Y。三、将一枚骰子独立地投掷n次，令X与Y分别表示其1点出现的次数和6点出现的次数，并记Z=n-X。试求：（1）X与Y的协方差及相关系数；（2）X与Z的相关系数。四、设样本𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋𝑛𝑛抽自总体X，总体的密度为：X~f(𝑥𝑥;𝜃𝜃1)=�1𝜃𝜃2𝑒𝑒−𝑥𝑥−𝜃𝜃1𝜃𝜃2,𝑥𝑥≥𝜃𝜃10,𝑥𝑥𝜃𝜃1，其中𝜃𝜃1∈𝑅𝑅为未知参数，𝜃𝜃20为已知数。（1）求𝜃𝜃1的矩估计𝜃𝜃�1和极大似然估计𝜃𝜃1∗；（2）𝜃𝜃�1和𝜃𝜃1∗是否为𝜃𝜃1的无偏估计？是加以证明，不是请加以修正为无偏估计量。五、某校组织学生参加英文词汇训练，并在年初与年底（即训练前与训后）各举行一次阅读考试，以考察训练的效果。现随机抽取10名同学，将其年初与年底的考试成绩记录如下：假定两次考分之差服从正态分布，试由此判断词汇训练是否有显著效果？（分别在𝛼𝛼=0.05与𝛼𝛼=0.01的水平下检验）六、为了研究色盲是否与性别有关，随机抽取1000人进行调查，结果如下：男女和正常442514956学生12345678910年初成绩64438472529377586991年底成绩72508680509078577295色盲38644和4805201000（1）试据此判断，色盲是否与性别有关？(𝛼𝛼=0.01)（2）你认为是男性还是女性更容易患色盲？请说明理由。中国科学技术大学2005—2006学年第一学期考试试卷考试科目：概率论与数理统计得分：学生所在系：姓名学号：（考期：2006年1月22日，闭卷，可用计算器）一、设昆虫产卵个数服从参数为λ的Possion分布，而每个卵孵化成幼虫的概率为p，且各卵是否成虫彼此之间没有关系。试求：（1）一个昆虫产生k个后代的概率；（2）若某个昆虫产生k个后代，求它产生m个卵的概率。二、设二维随机变量(X,Y)的联合密度为：f(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=�0.25(1+𝑥𝑥𝑦𝑦),|𝑥𝑥|1,|𝑦𝑦|10,𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒（1）求给定X=1/2时Y的条件概率密度；（2）求Cov(X,Y)和Var(Y|X=1/2)；（3）证明𝑋𝑋2与𝑌𝑌2独立。三、设某学校有5000名学生，在某一时间区间内每个学生去某个阅览室的概率为0.05，且设每个学生是否去该阅览室是相互独立的。试问该阅览室至少需要设多少座位才能以95%的概率保证每个到该阅览室来的同学均有座位？四、设从总体X0123Pθ/2θ3θ/21-3θ抽取的一个简单随机样本𝑋𝑋1,⋯,𝑋𝑋10的观测值为(0,3,1,1,0,2,0,0,3,0)。（1）求θ的矩估计量𝜃𝜃�𝑀𝑀和极大似然估计量𝜃𝜃�𝐿𝐿；（2）证明上述估计量都是无偏估计量；（3）比较这两个估计量，指出哪个更有效。五、假设某台精盐包装机生产的袋装盐的净重服从正态分布，按照要求每袋盐的标准重量为500g，标准差不得超过10g。某天开工后，从装好的盐中随机抽取10袋，测得其净重（单位：g）为：510，495，478，487，501，493，528，504，503，504。试据此判断这时机器的工作是否正常。（𝛼𝛼=0.05）六、在著名的豌豆实验中，孟德尔（1822-1884）同时考虑豌豆的颜色和形状，共有四种组合：（黄、圆），（黄、皱），（绿、圆），（绿、皱）。按孟德尔的理论，这四类应该有9：3：3：1的比例。在一次实验中，发现这四类的观察数分别为315，101，108和32.试据此判断孟德尔的理论是否正确？（𝛼𝛼=0.05）中国科学技术大学2005