(0.2)《信号分析与处理》备课教案(第二章)(1)

《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦28第二章：单输入单输出系统的时域分析2.1.概述系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统将产生什么样的响应。即如果系统（这里指“线性时不变LTI系统”，以下相同）是确定的，激励是已知的，则响应一定也是确定的。系统数学模型的时域描述主要有两种形式：“输入输出描述”与“状态变量描述”，本章只涉及“输入输出描述”，即采用微分或差分方程对系统进行描述。为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定激励的响应，首先要建立描述该系统的微分方程（对于连续系统）或差分方程（对于离散系统），并求出满足给定初始状态的解。这里，解就是系统的响应。LTI连续/离散系统的时域分析，可以归结为：建立并求解线性微分/差分方程。这也称之为系统时域响应求解的“经典法”。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。几个重要的概念：由于对“线性时不变LTI系统”在时域中进行描述的数学模型就是“微分方程/连续系统”和“差分方程/离散系统”，因此这些方程的“解”就是系统的“时域响应”，进而又可以按照“解的形式”分解为“自由响应”和“强制响应”，也可以按照“响应产生的原因”分解为“零输入响应”和“零状态响应”。1、自由响应《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦29“微分方程/差分方程”的“齐次通解”就是系统的“自由响应/固有响应”，其只取决于系统本身的特性。也就是说，对于同一个系统，在不同的激励作用下，系统“自由响应”的形式是相同的。（但系数仍与“激励形式和系统初始状态”有关）2、强制响应“微分方程/差分方程”的“特解”就是系统的“强制响应/受迫响应”，其形式由系统的激励所决定。3、零输入响应指激励输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。4、零状态响应指系统的初始状态为零，仅由激励输入所引起的系统响应。5、全响应系统全响应=自由响应+强制响应=零输入响应+零状态响应2.2.连续系统的时域分析见书上P24～30，由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论，因此本课程中为“自学内容”。2.3.离散系统的时域分析一、差分与差分方程1、差分设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照连续信号的微分运算，如下式所示：《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦30定义离散信号的差分运算表达式如下：即一阶后向差分定义：)1()()(kfkfkf式中，▽称为差分算子。本课程主要用后向差分，简称为差分。2、差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式即，mjjmniinjkfbikya00)()(，其中1na上式称为n阶（后向形式）差分方程。差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”，但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解，或称“闭合解”。二、差分方程的建立一般情况下，实际的物理系统都是连续的模拟系统。对于SISO线形时不变连续系统，描述其的数学模型一般是微分方程形式；但是对于这样的《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦31数学模型，通过“差分法”即可以通过微分方程推导出差分方程，从而成为处理离散系统的数学模型。例1:考虑一个RC串联电路如图所示，我们首先建立描述这一连续系统的数学模型，由电路运算基本规律：)()()(tetrRtidttdrCi)(，代入上式并经整理，可得到：)(1)(1)(teRCtrRCdttdr（2.3-1）这是一个一阶微分方程，也就是描述RC串联电路系统输入输出关系的数学模型，这里)(te为系统输入，)(tr为系统输出。下面采用“差分法”将该微分方程离散化。考虑若将连续变量t以步长sT为间距进行等分，可得到),2,1,0(nnTts，所以产生了离散变量snT，从而连续函数)(tr在snTt各点的取值就构成了离散序列)(snTr。在sT足够小的情况下，微分运算就可以表示为：sssTnTrTnrdttdr)(])1[()(，将此式代入上面的（2.3-1）式，得：)(1)(1)(])1[(sssssnTeRCnTrRCTnTrTnr整理后可得：)()()1(])1[(sssssnTeRCTnTrRCTTnr取sT为单位时间，即1sT，可得：)(1)()11()1(neRCnrRCnr令110RCa，RCb10，可得：)()()1(00nebnranr《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦32从而得到描述离散系统的一阶线形常系数差分方程。例2:某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为元/月。设第k月存入f(k)元，月底结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为：)()1()1()(kfkykyky即：)()1()1()(kfkyky此即为描述这一银行结余系统的差分方程。问题：1．自由响应与强制响应的区别是什么？2．零输入响应与零状态响应的区别是什么？3．在时域中对于LTI系统，“输入输出描述”方式的系统数学模型是什么？为什么？《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦33三、差分方程的经典解对于形如下式描述的离散系统差分方程：其全响应可由以下两种分解响应构成：A、齐次解)(kyh与特解)(kyp的求解1、齐次解)(kyh齐次方程为：0)()1()(01nkyakyakyn其特征方程为：0102211nnnaaa即：002211aaannnnn其根),,2,1(nii称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根，具体情况如下：当特征根为单根时，齐次解)(kyh的形式为：kC当特征根为r重根时，齐次解)(kyh的形式为：krrrrCkCkCkC)(0122112、特解)(kyp特解的形式与激励的形式相同,主要分为以下三种形式：完全解/全响应=齐次解/自由响应+特解/强制响应)()()(kykykyph完全解/全响应=零输入响应+零状态响应)()()(kykykyfx《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦34)sin()cos()(kQkPkyp方程两边同时除以k2得：12PPP，解得：41P所以得特解(强制响应)：22241)(kkpky，0k故全解为2212)2)(()(kkphCkCyyky，0k将初始条件代入上式，可得：121222)2)((120CCC解得：41121CC《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦35所以齐次解(自由响应)为：khkky)2)(41()(因此，系统的全响应为：22)2)(41()()()(kkphkkykyky，0k总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由响应”)(kyh的一般式（包含待定系数）（3）由激励确定“强制响应”)(kyp的形式（包含待定系数）（4）将)(kyp代入原差分方程，求得待定系数，从而求得“强制响应”)(kyp（5）列出全响应表达式)()()(kykykyph（此时仍有)(kyh的待定系数待求出）（6）将初始条件代入上面的全响应表达式，求出)(kyh的待定系数，最终求得“自由响应”)(kyh和“全响应”)(kyB、零输入响应)(kyx与零状态响应)(kyf的求解根据定义，零输入响应是激励为零时（即无激励时），仅由系统的初始条件所产生的响应，因此零输入响应也就是满足初始条件的齐次方程的解。对于零状态响应，因是在激励之下产生的响应，因此应是非齐次方程的解（即包含齐次解和特解两个部分）。设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系统的初始状态,则对于零状态响应，必有：0)()3()2()1(nyyyy由此“零状态响应意义下”初始条件可以确定零状态响应的待定系数。例：若描述某离散系统的差分方程为《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦36)()2(2)1(3)(kfkykyky已知激励kkf2)(，0k，初始状态0)1(y，21)2(y，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)先求零输入响应，由差分方程得特征方程如下：0232,解得：11，22因此齐次方程的解为：kxkxxCCky)2()1()(21将初始状态0)1(y，21)2(y代入上式，可得：22211211)2()1(21)2()1(0xxxxCCCC，解得：2121xxCC所以，零输入响应kkxky)2(2)1()(，0k（2）求出特解（强制响应）因为kkf2)(，0k，所以有kpPky2)(将kpPky2)(代入原差分方程，得：kkkkPPP22223221方程两边同除以k2可得：12123PPP，解得：31P所以，特解(强制响应)为：kpky231)(，0k（3）求零状态响应(应由齐次解和特解两部分组成)kkfkfpkfkffCCkyCCky2)31()2()1()()2()1()(2121代入“零状态响应意义下”的初始条件0)2()1(yy,可得：《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦3722221112112)3/1()2()1(02)31()2()1(0ffffCCCC解得：13121ffCC故零状态响应为：kkkfky231)2()1(31)(，0k（4）求全响应kkkfxkykyky231)2()1(32)()()(，0k总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由响应”)(kyx的一般式（包含待定系数）（3）直接将初始条件代入)(kyx，求出待定系数，从而直接得到“零输入响应”)(kyx。（3）由激励确定“强制响应”)(kyp的形式（包含待定系数）（4）将)(kyp代入原差分方程，求得待定系数，从而求得“强制响应”)(kyp（5）列出“零状态响应表达式=齐次解+特解”形式（此时有齐次解的待定系数待求出），即)(kyf=)(kyx+)(kyp（6）将“零状态响应意义下”的初始条件代入上面的零状态响应表达式，求出待定系数，最终求得“零状态响应”)(kyf（7）“全响应”)(ky=)(kyx+)(kyf思考题：在上面的例题求“零状态响应”时，能否用0)4()3(yy作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。书本上例题要求：P32例2-6、例2-7、例2-8；P34例2-9；P35例2-10《信号分析与处理》教案第二章：单输入单输出系统的时域分析上海大学机自学院自动化系朱晓锦382.4.系统的单位冲击响应与单位样值响应一、单位冲击响应对于线形时不变连续时间系统，由单