收敛数列的性质(精)

返回后页前页一、惟一性§2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性(夹逼原理)四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.返回后页前页一、惟一性定理2.2若}{na收敛,则它只有一个极限.证设.}{的一个极限是naa下面证明对于任何定数.}{,的极限不能是nabab若a，b都是{an}的极限，则对于任何正数0,有时，当22,NnN有时，当11,NnN)1(;||aan返回后页前页.ba是任意的，所以因为当nN时(1),(2)同时成立,},,max{21NNN令从而有)2(.||ban.2||||||baaabann返回后页前页二、有界性即存在0,||,1,2,.nMaMn使得证lim,nnaa设对于正数1,,NnN时,有||1,naa11.naaa即若令12max{||,||,,||,|1|,|1|},nMaaaaa则对一切正整数n,都有||.naM定理2.3若数列，为有界数列则收敛}{,}{nnaa返回后页前页件.注数列})1{(n是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条返回后页前页三、保号性定理2.4lim,nnaa设对于任意两个实数b,c,证min{,}0,,,abcaNnN取当时注),0(0aa或若我们可取(),22aabc或0(0).22nnaaaa则或这也是为什么称该定理为保号性定理的原因..nbac故,nbaaac,则存在N,当nN时,.cabnbac返回后页前页例1证明.0!1limnnn证对任意正数,(1)lim0,!nnn因为所以由11,!nn1.!nn即这就证明了.0!1limnnn0,,NnN当时定理2.4,返回后页前页四、保不等式性定理2.5{},{}nnab设均为收敛数列,如果存在正00,,,nnNnNab数当时有limlim.nnnnab则证lim,lim.nnnnaabb设,,2abba若取,22babaaan,22bababbn,nnab故导致矛盾.所以.ab0,,,NNnN由保号性定理存在当时返回后页前页是严格不等式.注若将定理2.5中的条件改为,nnabnnba这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定也只能得到limlim.nnnnab例如,虽然12,nn但12limlim0.nnnn返回后页前页五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列}{},{nnba都以a为极限,}{nc数列.lim}{accnnn且收敛，证对任意正数nnnnaba,limlim,因为所以分,,,121时使得当别存在NnNN;naa2.nnNba当时,,}max{2,1,0NNNN取.abcaaNnnnn时，当这就证得满足:存在,,,00nnnbcaNnN有时当则返回后页前页例2求数列}{nn的极限.,22)1()1(2nhnnhnnnn,1121lim1limnnn所以由迫敛性，求得.1limnnn.limacnn.12111nhnnn故又因解10,nnhn设则有返回后页前页六、四则运算法则定理2.7为收敛数列，与若}{}{nnba},{nnba则(1)limlimlim;nnnnnnnabab(2),limlimlimnnnnnnnbaba当nb为常数c时,;limlimnnnnbcbc(3),0lim,0nnnbb若也收敛，且则nnba.limlimlimnnnnnnnbaba也都是收敛数列,且有}{,}{nnnnbaba返回后页前页,nN当时||,||,nnaabb有所以,2||||||bbaababannnn由的任意性,得到.limlimlimnnnnnnnbababa证明(2),}{收敛因nb,}{有界故nb.||Mbn设对于任意0,,nN当时有||,||1||1nnaabbMa，证明(1)lim,lim,nnnnaabb设0,,N存在返回后页前页,2||||||||bbaaabnnn由的任意性,证得.limlimlimnnnnnnnbababa证明(3),1nnnnbaba因为由(2),只要证明.lim11limnnnnbb,0b由于据保号性,,,11时当NnN||||abababbaabbannnnnn于是返回后页前页||||.2nbb又因为22lim,,,nnbbNnN当时时，当取NnNNN},,max{212112nnnnbbbbbbbbb，即11lim.nnbblimlim.limnnnnnnnaabb所以,22bbbn返回后页前页七、一些例子例3用四则运算法则计算11101110lim,mmmmkknkkanananabnbnbnb,0.mkmkab其中(1)当m=k时,有1lim00,nn依据分别得出:解返回后页前页mmmmmmmmnnbnbnbbnananaa111111lim01110111.mmba11101110limmmmmkknkkanananabnbnbnb(2)当mk时,有返回后页前页110111011111limlim111mmmmkmnnkkkkaaaannnnbbbbnnn.00kmba11101110limmmmmkknkkanananabnbnbnb.0,mmamkbmk，原式∴返回后页前页例40,lim,nnnaaa设lim.nnaa求证证0,na由于根据极限的保不等式性,有.0a(1)0,a时有|0|;nnaa(2)0,a时有||||||.nnnnaaaaaaaaaalim.nnaa故得证对于任意0,,,||.nNnNaa当时于是可得:返回后页前页例50,lim0,lim1.nnnnnnaaaa求证设证lim0,nnaa因为根据极限的保号性,存在N,当nN时,有3,22naaa即3.22nnnnaaa又因为3limlim1,22nnnnaa所以由极限的迫lim1.nnna敛性,证得返回后页前页例6lim(1).1nnnaaa求极限解(1)||1,alim0,nna因为所以由极限四则运算法则,得limlim0.11limnnnnnnnaaaa(2)1,a11limlim.221nnnnaa(3)||1,alim(1)0,nna因故得1limlim111nnnnnaaa11.1lim(1)nna返回后页前页例712,,,maaa设为m个正数,证明1212limmax{,,,}.nnnnmmnaaaaaa12,nnnnnmaaaama证12max{,,,}.maaaa设由limlim,nnnmaaa以及极限的迫敛性,可得1212limmax{,,,}.nnnnmmnaaaaaaa返回后页前页定义1+{},{}N,nkan设为数列为的无限子集且12,knnn则数列12,,,,knnnaaa{},{}.knnaa称为的子列简记为注,{}{}{},knnnaaa由定义的子列的各项均选自{}{}knnaa且保持这些项在中的先后次序.中的第{},.nkkkannk项是中的第项故总有返回后页前页定理2.8{},{}nnaaa若数列收敛到则的任意子列{}.knaa也收敛到证lim.0,,,.nnnaaNnNaa设则{}{}.,knnkaank设是的任意一个子列由于因此,,.kknkNnkNaa时亦有这就证明了lim.knkaa注2.8由定理可知,若一个数列的两个子列收敛于不同的值,则此数列必发散.返回后页前页例8的充要条件是求证aannlim.limlim212aaannnn证(必要性)Naann,lim，那么设nN时，.||aan所以因为,12,2NnNn，||1-2aan.||2aan那么，设充分性,limlim)(212aaakkkk,,N存在时，Nk返回后页前页12k-|aa|，2k|aa|.2,NKnN令当时,则有||,naalim.nnaa所以返回后页前页例91(1)(1).{}.nnnaan若=证明数列发散解显见21limlim(1)1.2kkkak因此,{}.na数列发散211limlim(1)1;21kkkak返回后页前页1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：{}na若为正有界数列，则12limsup{}.nnnnnnnaaaa复习思考题