2020中考数学考点突破专项复习-2.五大常考全等模型

第四单元三角形此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．平移型模型11.(2018桂林)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．第1题图（1）证明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝CF＋DC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SSS)；,ABDEBCEFACDF（2）解：在△ABC中，∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝37°.∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝37°.2.(2018温州)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.（1）求证：△AED≌△EBC；（2）当AB＝6时，求CD的长．第2题图（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，∵E是AB的中点，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC(ASA)；12（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，∵AB＝6，∴CD＝AE＝AB＝3.模型2对称型此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．第3题图（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AF＝AD，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，∴△ABG≌△AFG(HL)；（2）解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，设BG＝GF＝x，则GC＝8－x，∵E为CD的中点，∴CE＝ED＝EF＝4，∴EG＝4＋x，在Rt△CEG中，42＋(8－x)2＝(4＋x)2，解得x＝，∴BG的长为.第3题图8383模型3一线三垂直型一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，过直角的两边上一点分别向直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)，利用“同角的余角相等”转化找等角(∠1＝∠2)．4.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝________．第4题图5【解析】∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE,∴∠E＝90°,在△BDA和△AEC中，，∴△BDA≌△AEC(AAS)，∴DA＝CE＝2，AE＝DB＝3，∴DE＝DA＋AE＝5.ABDCAEDEABAC模型4旋转型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：（1）无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分．（2）有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．5.如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为()A.5.5B.4C.4.5D.3第5题图【解析】∵AB∥EF，∴∠A＝∠E，又∵AB＝EF，∠B＝∠F，∴△ABC≌△EFD(ASA)，∴ED＝AC＝7，∴AD＝AE－ED＝10－7＝3，∴CD＝AC－AD＝7－3＝4.B6.如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．第6题图120°【解析】如解图，设AC与BD交于点H,∵△ACD和△ECB都为等边三角形,∴AC＝DC，CE＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中,AC＝DC,∠ACE＝∠DCB，CE＝BC，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.第6题解图7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，tan∠ACB＝，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为________．第7题图1223【解析】∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，又∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，∵BD＝DC，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴S四边形AFBD＝2S△ABD，又∵BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD，∴S四边形AFBD＝S△ABC，∵∠BAC＝90°，tan∠ACB＝，AB＝4，∴AC＝＝6,∴S△ABC＝AB·AC＝×4×6＝12,∴S四边形AFBD＝12.23tanABACB1212遇到角平分线时，常常含有公共边，利用角的对称性，在角平分线的两边构造对称全等三角形．（1）如图①，一般可由角平分线上的某一点向角的两边作垂线，构造直角三角形，利用角平分线的性质得到线段相等．（2）如图②，通过延长线段，构造对应边相等．角平分线型图①图②模型5（3）如图③，常在角的一边上截取另一边上的已知线段的长度，构造对应边相等．（4）如图④，图⑤，常作过角的一边上的点作另一边的平行线，利用平行线结合角平分线的性质等量代换，证角相等．图③图④图⑤8.如图，AC平分∠BAD，CD＝CB，AB＞AD.求证：∠B＋∠ADC＝180°.第8题图证明：如解图，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF.在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE＝CF，CB＝CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADC＝180°，∴∠B＋∠ADC＝180°.第8题解图9.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，AD＝3，AC＝5，求BC的长．第9题图解：如解图，在BC边上截取CE＝AC，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，又∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴AD＝DE，∠A＝∠CED，∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B，∵∠CED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝DA，∴BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝5＋3＝8.第9题解图