三角函数综合测试卷

1三角函数综合复习题（二）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知cosα＝12，α∈(370°，520°)，则α等于()A．390°B．420°C．450°D．480°2．若sinx·cosx0，则角x的终边位于()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．函数y＝tanx2是()A．周期为2π的奇函数B．周期为π2的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数4．已知tan(－α－43π)＝－5，则tan(π3＋α)的值为()A．－5B．5C．±5D．不确定5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ))(ω0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于()A．1B．2C.12D.136．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于()A．－π2B．2kπ－π2(k∈Z)C．kπ(k∈Z)D．kπ＋π2(k∈Z)7．若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcosθ的值是()A．－310B.310C．±310D.348．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π209．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移π3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝π4，则θ的一个可能取值是()A.5π12B．－5π12C.11π12D．－11π1210．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()211．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cosx2＋3π2(x∈[0,2π])的图象和直线y＝12的交点个数是()A．0B．1C．2D．412．设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．abcB．acbC．bcaD．bac题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如果cosα＝15，且α是第四象限的角，那么cos(α＋π2)＝________.14．设定义在区间(0，π2)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．15.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.16．给出下列说法中：(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；(3)函数y＝|cos2x＋12|的最小正周期为π2；(4)函数y＝4sin(2x＋π3)，x∈R的一个对称中心为(－π6，0)．其中正确说法的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtanπ－αtan－α－πsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f(α)的值．18．(12分)已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，求下列各式的值．3(1)5cos2θsin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.19．(12分)已知sinα＋cosα＝15.求：(1)sinα－cosα；(2)sin3α＋cos3α.20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．21．(12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0≤φ≤π2)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3.(1)求出此函数的解析式；4(2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω－m2＋2m＋3＋φ)Asin(ω－m2＋4＋φ)？若存在，求出m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？三角函数综合复习题（二）答案1．B2.C3.A4.A55．B[由图象知2T＝2π，T＝π，∴2πω＝π，ω＝2.]6．D[若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋π2，(k∈Z)．]7．B[∵sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝2，∴tanθ＝3.∴sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝310.]8．C[函数y＝sinxy＝sinx－π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝sin12x－π10.]9．A[将y＝sin(x－θ)向右平移π3个单位长度得到的解析式为y＝sinx－π3－θ＝sin(x－π3－θ)．其对称轴是x＝π4，则π4－π3－θ＝kπ＋π2(k∈Z)．∴θ＝－kπ－7π12(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝5π12.]10．D[图A中函数的最大值小于2，故0a1，而其周期大于2π.故A中图象可以是函数f(x)的图象．图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2π，故B中图象可以是函数f(x)的图象．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象不可能为函数f(x)的图象．]11．C[函数y＝cosx2＋3π2＝sinx2，x∈[0,2π]，图象如图所示，直线y＝12与该图象有两个交点．]12．D[∵a＝sin5π7＝sin(π－5π7)＝sin2π7.2π7－π4＝8π28－7π280.∴π42π7π2.又α∈π4，π2时，sinαcosα.∴a＝sin2π7cos2π7＝b.又α∈0，π2时，sinαtanα.∴c＝tan2π7sin2π7＝a.∴ca.∴cab.]13.265解析∵α是第四象限的角且cosα＝15.6∴sinα＝－1－cos2α＝－265，∴cos(α＋π2)＝－sinα＝265.14.23解析由y＝6cosx，y＝5tanx消去y得6cosx＝5tanx.整理得6cos2x＝5sinx,6sin2x＋5sinx－6＝0，(3sinx－2)(2sinx＋3)＝0，所以sinx＝23或sinx＝－32(舍去)．点P2的纵坐标y2＝23，所以|P1P2|＝23.15．3解析由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：T2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T＝23π.∵T＝2πω＝23π，∴ω＝3.16．(1)(4)解析本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f(x＋π2)＝|－cos2x＋12|≠f(x)，∴π2不是函数的周期；(4)由于f(－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．17．解(1)f(α)＝sinα－π2cos3π2＋αtanπ－αtan－α－πsin－π－α＝－sinπ2－αsinα－tanα－tanαsinα＝cosαsinαtanα－tanαsinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sinα＝15.∴sinα＝－15.∵α是第三象限角，∴cosα＝－265.∴f(α)＝－cosα＝265.18．解由已知4sinθ－2cosθ3sinθ＋5cosθ＝611，∴4tanθ－23tanθ＋5＝611.解得：tanθ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tanθ－3＝55＝1.7(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tanθ＋31＋tan2θ＝－15.19．解(1)由sinα＋cosα＝15，得2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925，∴sinα－cosα＝±75.(2)sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，由(1)知sinαcosα＝－1225且sinα＋cosα＝15，∴sin3α＋cos3α＝15×1＋1225＝37125.20．解(1)由图象知A＝2.f(x)的最小正周期T＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT＝2.将点(π6，2)代入f(x)的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|π2，∴φ＝π6，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)变换过程如下：y＝2sinx6图像向左平移个单位y＝2sin(x＋π6)12所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变y＝2sin(2x＋π6)．21．解(1)由题意得A＝3，12T＝5π⇒T＝10π，∴ω＝2πT＝15.∴y＝3sin(15x＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10.∴y＝3sin(15x＋3π10)．(2)当2kπ－π2≤15x＋3π10≤2kπ＋π2时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为[10kπ－4π，10kπ＋π](k∈Z)．(3)m满足－m2＋2m＋3≥0，－m2＋4≥0，解得－1≤m≤2.∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，∴0≤－m2＋2m＋3≤2，同理0≤－m2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有：Asin(ω－m2＋2m＋3＋φ)Asin(ω－m2＋4＋φ)，只需要：－m2＋2m＋3－m2＋4，即m12成立即可，所以存在m∈(12，2]，使Asin(ω－m2＋2m＋3＋φ)Asin(ω－m2＋4＋φ)成立．22．解(1)由表中数据知周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋11，8∴cosπ6t0，∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，即12k－3t12k＋3.①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.