人教A版必修第一册第3章34函数的应用一学案

1求函数的定义域【例1】(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．[解](1)解不等式组5－x≥0，x－1≥0，x2－9≠0，得x≤5，x≥1，x≠±3，故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为12(a－2x)，所以y＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax，定义域为x0x12a.1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．21．函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，1D[由1－x0，3x－1≠0，得x1且x≠13，故选D.]求函数的解析式【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为______．(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．(1)f(x)＝1＋x，x00，x＝0－－x－1，x0(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)[(1)设x0，则－x0，∴f(－x)＝－x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝－x＋1，∴f(x)＝－－x－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝1＋x，x0，0，x＝0，－－x－1，x0.(2)令t＝1＋xx＝1x＋1，则t≠1.把x＝1t－1代入f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，得f(t)＝1＋1t－121t－12＋11t－1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为3f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]求函数解析式的题型与相应的解法1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.3含fx与f－x或fx与f1x，使用解方程组法.4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．(1)12x＋12[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝12x＋12.](2)[解]因为f(x)的对称轴为x＝－1，所以－b2a＝－1即b＝2a，又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，由条件③知：a0，且4ac－b24a＝0，即b2＝4ac，由上可求得a＝14，b＝12，c＝14，所以f(x)＝14x2＋12x＋14.函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；4(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．[思路点拨](1)用f(0)＝0及f12＝25求a，b的值；(2)用单调性的定义求解．[解](1)由题意，得f0＝0，f12＝25，∴a＝1，b＝0，故f(x)＝x1＋x2.(2)任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝x1－x21－x1x21＋x211＋x22.∵－1x1x21，∴x1－x20,1＋x210,1＋x220.又－1x1x21，∴1－x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)0.[解]由f(t－1)＋f(t)0得f(t－1)－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1t－1－t1，∴0t12，∴不等式的解集为t0t12.2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．[解]由题意可知，f(－x)＝f(x)，即－ax＋b1＋x2＝ax＋b1＋x2，∴a＝0，又f12＝25，∴b＝12，∴f(x)＝12＋2x2.巧用奇偶性及单调性解不等式1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1fx2或fx1fx2的形式.52根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.函数的应用【例4】某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？[思路点拨]两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．[解]由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝98，0≤x≤60，310x＋80，x60，fB(x)＝168，0≤x≤500，310x＋18，x500.(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝0.3，(n500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)fB(x)．当x500时，fA(x)fB(x)．6当60x≤500时，168＝310x＋80，解得x＝8803.当60x8803时，fB(x)fA(x)；当8803≤x≤500时，fA(x)fB(x)．即当通话时间在8803，＋∞时，方案B才会比方案A优惠．1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？[解]设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①由销售图易得：7Q＝－2P＋50，14≤P≤20，－32P＋40，20P≤26，代入①式得L＝－2P＋50·P－14×100－5600，14≤P≤20，－32P＋40·P－14×100－5600，20P≤26.(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，当20P≤26时，Lmax≈417元．故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．(2)设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0.解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．