人教A版高中数学411n次方根与分数指数幂导学案1

第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算性质；重点难点根式的概念根式的性质分数指数幂的意义指数幂的运算性质分式与指数幂的意义原式化简求值1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n1，且n∈N*)(1)n为奇数时，nan＝a.(2)n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(1)(na)n的含义是什么？[提示](na)n是实数a的n次方根的n次幂．(2)(na)n中实数a的取值范围是任意实数吗？[提示]不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.自主小测；1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(n－2)n＝－2.()(3)π－42＝π－4.()2.416的运算结果是()A．2B．－2C±2D．±23．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A4m2B.5mC6mD.5－m4．若x3＝－5，则x＝________.探究1n次方根的概念问题例1(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．(2)已知x6＝2016，则x＝________.(3)若4x＋3有意义，求实数x的取值范围为________.[规律方法]n次方根的个数及符号的确定1.n的奇偶性决定了n次方根的个数；2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①6－32n；②5a2；③6－52n＋1；④9－a2，其中无意义的有()A．1个B．2个C3个D．0个探究2利用根式的性质化简求值例2化简下列各式：(1)5－25＋(5－2)5；(2)6－26＋(62)6；(3)4x＋24；跟踪训练2．若9a2－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围．探究3根式与分数指数幂的互化2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?353544；535377；2323aa(1)观察以下式子,并总结出规律:(a0)55215202(2)221243433231(333)31212343444()aaaa1051025255()aaaa结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?353544;43的5次方根是354;535377;75的3次方根是537;2323;aaa2的3次方根是23;a结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；1.正数的正分数指数幂的意义：mmnnaa(0,,N,1)且amnn2.正数的负分数指数幂的意义：11(0,,N,1)mnmnmnaamnnaa且3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()跟踪训练3.用根式表示下列各式:(a＞0)12a，34a，35a，23a2.用分数指数幂表示下列各式：34()(0)abab；23()mn；4()()mnmn；65(0)pqp[规律方法]根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C3D．42．已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C210D．±1023.把根式aa化成分数指数幂是()A．(－a)32B．－(－a)32C-a32D．a324.π－42＋3π－33＝________.5.（设x0，则(－x)2＝________.6．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a3·3a2；(2)a－4b23ab2(a0，b0)．7.(1)若x0，则x＋|x|＋x2x＝________.(2)若－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值.利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。参考答案：一、知识梳理自主小测1.[答案](1)√(2)×(3)×2.A[416＝424＝2.]3.C[当m0时，6m没有意义，其余各式均有意义．]4.－35[若x3＝－5，则x＝3－5＝－35.]二、学习过程探究1：(1)3；±2(2)±62016(3)[－3，＋∞]解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因为x6＝2016，所以x＝±62016.(3)要使4x＋3有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．跟踪训练1A[①中(－3)2n0，所以6－32n有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋10，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.]探究2：[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2.－x－2，x－2.跟踪训练2;[解]∵9a2－6a＋1＝3a－12＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥13.探究3：答案](1)×(2)×(3)×:三、达标检测1.【答案】B[①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.]2.【答案】B[①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.]3.[答案]D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]4.【答案】1[π－42＋3π－33＝4－π＋π－3＝1.]5.【答案】－x[∵x0，∴－x0，∴－x2＝－x.]()()()221133323333121141342242242336336.1,2.aaaaaaababababababab+----轾??=臌??=答案7.思路探究：(1)由x0，先计算|x|及x2，再化简．(2)结合－3x3，开方，化简，再求值．(1)－1[∵x0，∴|x|＝－x，x2＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋x2x＝x－x－1＝－1.][解](2)x2－2x＋1－x2＋6x＋9＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝－2x－2，－3x≤1，－4，1x3.