20192020学年人教A版必修五数列单元测试

试卷第1页，总13页数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=2𝑛2+𝑛，那么它的通项公式是（）A．𝑎𝑛=2𝑛−1B．𝑎𝑛=2𝑛+1C．𝑎𝑛=4𝑛−1D．𝑎𝑛=4𝑛+1【答案】C【解析】分类讨论：当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=2+1=3，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(2𝑛2+𝑛)−[2(𝑛−1)2+𝑛−1]=4𝑛−1，且当𝑛=1时：4𝑛−1=4×1−1=3=𝑎1据此可得，数列的通项公式为：𝑎𝑛=4𝑛−1.本题选择C选项.2．数列{𝑎𝑛}中𝑎3=2，𝑎7=1，如果数列{1𝑎𝑛+1}是等差数列，那么𝑎11=（）．A．0B．12C．23D．1【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{1𝑎𝑛+1}的公差为𝑑，则1𝑎7+1=1𝑎3+1+4𝑑⇒11+1=12+1+4𝑑⇒𝑑=124，从而1𝑎19+1=1𝑎7+1+12𝑑=11+1+12×124=1，所以𝑎19=0，选择A.考点：等差数列及通项公式.3．已知数列{𝑎𝑛}的前项和为𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，且a1=2，a2=3，Sn为数列{𝑎𝑛}的前n项和，则S2016的值为（）A．0B．2C．5D．6【答案】A【解析】试题分析：由题意得，𝑎3=𝑎2−𝑎1=1，𝑎4=𝑎3−𝑎2=−2，𝑎5=𝑎4−𝑎3=−3，𝑎6=𝑎5−𝑎4=−1，𝑎7=𝑎6−𝑎5=2，∴数列{𝑎𝑛}是周期为6的周期数列，而2016=6⋅336，∴𝑆2016=336𝑆6=0，故选A．试卷第2页，总13页【考点】本题主要考查数列求和．4．在等差数列na中，若35791145aaaaa，33S，那么5a等于（）A．4B．5C．9D．18【答案】B【解析】因为na是等差数列，所以3579117545aaaaaa，79a，又3233Sa，21a，所以91272d，所以5235aad，故选B．点睛：等差数列的性质：na是等差数列，有结论“若mnpq（,,,*mnpqN），则mnpqaaaa．特别地若2mnp，则2mnpaaa，由此可得2121nnSna，利用此性质解相关等差数列问题可以简化计算．当然本题也可用基本量法求解．5．已知{𝑎𝑛}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=()A．12B．16C．20D．24【答案】D【解析】试题分析：根据{𝑎𝑛}是等差数列，且由等差中项的性质可知a5+a8=a2+a11=a6+a7，又有a2+a5+a8+a11=48，故有a6+a7=24，故选D.考点：本试题主要考查了等差数列的等差中项的性质的运用。点评：解决该试题的关键是运用中项性质简化运算得到结论。6．已知数列na是递增的等比数列，149aa，238aa，则数列na的前n项和等于（）A．122nB．33nC．21nD．121n【答案】C【解析】由题意结合等比数列的性质可得：1423149{8aaaaaa，据此可得：140,0aa，结合数列单调递增可得：141,8aa，则数列的公比：4312aqa，试卷第3页，总13页结合等比数列前n项和公式可得：数列na的前n项和等于1122112nnnS.本题选择C选项.7．已知数列的一个通项公式为113(1)2nnnna，则5a（）A．12B．12C．932D．932【答案】A【解析】解：1515151435381(1)(1)2222nnnnaa，故选A二、填空题8．已知数列na为0123,,,,,naaaaanN01230nninibaaaaaa，iN.若数列na为等差数列2nannN，则1niinibC________.【答案】22(3)2nnn【解析】试题分析：02,nnniianba，02421nbnnn01221nnnnnnnxCCxCxCx两边同乘以x，则有0122311nnnnnnnxxCxCxCxCx，两边求导，左边=111nnxnxx，右边=0122231nnnnnnCCxCxnCx，即1012211231nnnnnnnnxnxxCCxCxnCx（*），对（*）式两边再求导，得试卷第4页，总13页121232121112?1?3?2?4?3?1nnnnnnnnnxnnxxCCxCxnnCx取x=1，则有22123321?2?2?3?3?4?1nnnnnnnnCCCnnC∴221(3)2nininibCnn考点：数列的求和9．在数列{}nx中，若11x，1111nnxx，则2014x．【答案】12.【解析】试题分析：由1111nnxx变形为1111nnxx，即有1(1)(1)1nnxx，令1nnbx，则有11nnbb，说明nb与1nb互为倒数关系，而由11x有12b，则212b，同理4312,2bb……，因此有201412b，所以2014112x，故2014x12.考点：运用数列特殊递推关系解决问题，本题要注意构造新数列进行归纳寻求相应规律，从而解决问题.10．设等比数列na的前n项和nS，若12a，639SS，则5a的值为__________．【答案】-32【解析】设等比数列na的公比为q∵12a，639SS∴6319111qqqq化简为319q∴2q∴452232a故答案为-3211．已知等比数列{}na的前n项和为nS，且112a，2648(2)aaa，则2018S__________．【答案】2017122【解析】试卷第5页，总13页【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得若a2a6＝8（a4﹣2），则有a42﹣8a4+16＝0，解可得a4＝4，进而计算可得q的值，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a2a6＝8（a4﹣2），则有（a4）2＝8（a4﹣2），即a42﹣8a4+16＝0，解可得a4＝4，则q341412aa8，则q＝2，则S2018201811212a2201712，故答案为2017122．【点睛】本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．12．已知数列{}na中，12a，1()1nnnnaaa，*nN，若对于任意的[0,1]t，*nN，不等式222(1)31natataan恒成立，则实数a的取值范围________.【答案】(,1][3,)【解析】【分析】根据题意，数列na满足11111nnaannnn，从而用累加法求得nan13n，进一步求得31nan，从而可得43311nann，之后将不等式转化为22210tataa，构造新函数，结合二次函数的性质列出不等式组求得结果.【详解】由11nnnnaaa，可得111nnnana，即1111111nnaannnnnn，试卷第6页，总13页又12a，所以112211112211nnnnnaaaaaaaannnnn，所以111111212112nannnnn13n，即31nan，31433111nannnn，要使不等式222131natataan对于任意的0,1t，*nN恒成立，则223213tataa对于任意的0,1t恒成立，即22210tataa对于任意的0,1t恒成立，令2221fttataa，则22001230faafaa，解得1a或3a，故答案是：,13,.【点睛】该题考查的是有关数列与不等式的综合题，涉及到的知识点有利用累加法求通项，不等式恒成立向最值靠拢，一元二次不等式在某个区间上恒成立，用一元二次方程的根的分布来解决，注意构造新函数，属于较难题目.13．已知数列{}na满足11a，111nnaann(2)n，则na=________【答案】121nan【解析】∵1111nnaannnn，∴112211()()()nnnnnaaaaaaaa=(1)(1)(32)1121nnnnn14．111,212,nnnaaana【答案】21n【解析】试题分析：1121121nnnnaaaa，所以1na是以2为首项，2为公比的等比数列，1221nnnnaa试卷第7页，总13页考点：求数列的通项公式15．若公差为d的等差数列na*nN，满足3410aa，则公差d的取值范围是____【答案】,22,【解析】由3410aa得22111123105610adadadad所以222546102ddd或2d三、解答题16．已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且6𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑎（𝑛∈𝑁∗）．（1）求𝑎的值及数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）若𝑏𝑛=(3𝑛+1)𝑎𝑛+log3𝑎2𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．【答案】（1）𝑎𝑛=3𝑛−1；（2）𝑇𝑛=(6𝑛−1)⋅3𝑛+14【解析】分析:(1)利用项和公式求a的值和数列{𝑎𝑛}的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．详解：（1）∵6𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑎（𝑛∈𝑁∗），∴当𝑛=1时，6𝑆1=6𝑎1=9+𝑎；当𝑛≥2时，6𝑎𝑛=6(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)=2×3𝑛，即𝑎𝑛=3𝑛−1，∵{𝑎𝑛}为等比数列，∴𝑎1=1，则9+𝑎=6，𝑎=−3，∴{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛−1．（2）由（1）得𝑏𝑛=(3𝑛+1)3𝑛−1，∴𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=4×30+7×31+⋯+(3𝑛+1)3𝑛−1，3𝑇𝑛=4×31+7×32+⋯+(3𝑛−2)3𝑛−1+(3𝑛−1)3𝑛，∴−2𝑇𝑛=4+32+33+⋯+3𝑛−(3𝑛+1)3𝑛，∴𝑇𝑛=(6𝑛−1)⋅3𝑛+14．点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和错位相减求和,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的计算能力.(2)若数列{𝑏𝑛·𝑐𝑛}，其中{𝑏𝑛}是等差数列，{𝑐𝑛}是等比数列，则采用错位相减法.错位相减的结果一定要化成（𝑎𝑛+𝑏)𝑐𝑑𝑛+𝑒+𝑓的形式，并把n=1代入检验.试卷第8页，总13页17．已知等差数列{𝑎𝑛}中，其前𝑛项和为𝑆𝑛,𝑎2=4,𝑆5=30.（1）求{𝑎𝑛}的首项𝑎1和公差𝑑的值；（2）设数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=1𝑆𝑛，求数列{�