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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 20192020学年人教A版必修五数列单元测试
试卷第1页,总13页数列学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=2𝑛2+𝑛,那么它的通项公式是()A.𝑎𝑛=2𝑛−1B.𝑎𝑛=2𝑛+1C.𝑎𝑛=4𝑛−1D.𝑎𝑛=4𝑛+1【答案】C【解析】分类讨论:当𝑛=1时,𝑎1=𝑆1=2+1=3,当𝑛≥2时,𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(2𝑛2+𝑛)−[2(𝑛−1)2+𝑛−1]=4𝑛−1,且当𝑛=1时:4𝑛−1=4×1−1=3=𝑎1据此可得,数列的通项公式为:𝑎𝑛=4𝑛−1.本题选择C选项.2.数列{𝑎𝑛}中𝑎3=2,𝑎7=1,如果数列{1𝑎𝑛+1}是等差数列,那么𝑎11=().A.0B.12C.23D.1【答案】B【解析】试题分析:设等差数列{1𝑎𝑛+1}的公差为𝑑,则1𝑎7+1=1𝑎3+1+4𝑑⇒11+1=12+1+4𝑑⇒𝑑=124,从而1𝑎19+1=1𝑎7+1+12𝑑=11+1+12×124=1,所以𝑎19=0,选择A.考点:等差数列及通项公式.3.已知数列{𝑎𝑛}的前项和为𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛,且a1=2,a2=3,Sn为数列{𝑎𝑛}的前n项和,则S2016的值为()A.0B.2C.5D.6【答案】A【解析】试题分析:由题意得,𝑎3=𝑎2−𝑎1=1,𝑎4=𝑎3−𝑎2=−2,𝑎5=𝑎4−𝑎3=−3,𝑎6=𝑎5−𝑎4=−1,𝑎7=𝑎6−𝑎5=2,∴数列{𝑎𝑛}是周期为6的周期数列,而2016=6⋅336,∴𝑆2016=336𝑆6=0,故选A.试卷第2页,总13页【考点】本题主要考查数列求和.4.在等差数列na中,若35791145aaaaa,33S,那么5a等于()A.4B.5C.9D.18【答案】B【解析】因为na是等差数列,所以3579117545aaaaaa,79a,又3233Sa,21a,所以91272d,所以5235aad,故选B.点睛:等差数列的性质:na是等差数列,有结论“若mnpq(,,,*mnpqN),则mnpqaaaa.特别地若2mnp,则2mnpaaa,由此可得2121nnSna,利用此性质解相关等差数列问题可以简化计算.当然本题也可用基本量法求解.5.已知{𝑎𝑛}是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7=()A.12B.16C.20D.24【答案】D【解析】试题分析:根据{𝑎𝑛}是等差数列,且由等差中项的性质可知a5+a8=a2+a11=a6+a7,又有a2+a5+a8+a11=48,故有a6+a7=24,故选D.考点:本试题主要考查了等差数列的等差中项的性质的运用。点评:解决该试题的关键是运用中项性质简化运算得到结论。6.已知数列na是递增的等比数列,149aa,238aa,则数列na的前n项和等于()A.122nB.33nC.21nD.121n【答案】C【解析】由题意结合等比数列的性质可得:1423149{8aaaaaa,据此可得:140,0aa,结合数列单调递增可得:141,8aa,则数列的公比:4312aqa,试卷第3页,总13页结合等比数列前n项和公式可得:数列na的前n项和等于1122112nnnS.本题选择C选项.7.已知数列的一个通项公式为113(1)2nnnna,则5a()A.12B.12C.932D.932【答案】A【解析】解:1515151435381(1)(1)2222nnnnaa,故选A二、填空题8.已知数列na为0123,,,,,naaaaanN01230nninibaaaaaa,iN.若数列na为等差数列2nannN,则1niinibC________.【答案】22(3)2nnn【解析】试题分析:02,nnniianba,02421nbnnn01221nnnnnnnxCCxCxCx两边同乘以x,则有0122311nnnnnnnxxCxCxCxCx,两边求导,左边=111nnxnxx,右边=0122231nnnnnnCCxCxnCx,即1012211231nnnnnnnnxnxxCCxCxnCx(*),对(*)式两边再求导,得试卷第4页,总13页121232121112?1?3?2?4?3?1nnnnnnnnnxnnxxCCxCxnnCx取x=1,则有22123321?2?2?3?3?4?1nnnnnnnnCCCnnC∴221(3)2nininibCnn考点:数列的求和9.在数列{}nx中,若11x,1111nnxx,则2014x.【答案】12.【解析】试题分析:由1111nnxx变形为1111nnxx,即有1(1)(1)1nnxx,令1nnbx,则有11nnbb,说明nb与1nb互为倒数关系,而由11x有12b,则212b,同理4312,2bb……,因此有201412b,所以2014112x,故2014x12.考点:运用数列特殊递推关系解决问题,本题要注意构造新数列进行归纳寻求相应规律,从而解决问题.10.设等比数列na的前n项和nS,若12a,639SS,则5a的值为__________.【答案】-32【解析】设等比数列na的公比为q∵12a,639SS∴6319111qqqq化简为319q∴2q∴452232a故答案为-3211.已知等比数列{}na的前n项和为nS,且112a,2648(2)aaa,则2018S__________.【答案】2017122【解析】试卷第5页,总13页【分析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得若a2a6=8(a4﹣2),则有a42﹣8a4+16=0,解可得a4=4,进而计算可得q的值,由等比数列的前n项和公式计算可得答案.【详解】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若a2a6=8(a4﹣2),则有(a4)2=8(a4﹣2),即a42﹣8a4+16=0,解可得a4=4,则q341412aa8,则q=2,则S2018201811212a2201712,故答案为2017122.【点睛】本题考查等比数列的性质以及前n项和公式,关键是求出等比数列的公比,属于基础题.12.已知数列{}na中,12a,1()1nnnnaaa,*nN,若对于任意的[0,1]t,*nN,不等式222(1)31natataan恒成立,则实数a的取值范围________.【答案】(,1][3,)【解析】【分析】根据题意,数列na满足11111nnaannnn,从而用累加法求得nan13n,进一步求得31nan,从而可得43311nann,之后将不等式转化为22210tataa,构造新函数,结合二次函数的性质列出不等式组求得结果.【详解】由11nnnnaaa,可得111nnnana,即1111111nnaannnnnn,试卷第6页,总13页又12a,所以112211112211nnnnnaaaaaaaannnnn,所以111111212112nannnnn13n,即31nan,31433111nannnn,要使不等式222131natataan对于任意的0,1t,*nN恒成立,则223213tataa对于任意的0,1t恒成立,即22210tataa对于任意的0,1t恒成立,令2221fttataa,则22001230faafaa,解得1a或3a,故答案是:,13,.【点睛】该题考查的是有关数列与不等式的综合题,涉及到的知识点有利用累加法求通项,不等式恒成立向最值靠拢,一元二次不等式在某个区间上恒成立,用一元二次方程的根的分布来解决,注意构造新函数,属于较难题目.13.已知数列{}na满足11a,111nnaann(2)n,则na=________【答案】121nan【解析】∵1111nnaannnn,∴112211()()()nnnnnaaaaaaaa=(1)(1)(32)1121nnnnn14.111,212,nnnaaana【答案】21n【解析】试题分析:1121121nnnnaaaa,所以1na是以2为首项,2为公比的等比数列,1221nnnnaa试卷第7页,总13页考点:求数列的通项公式15.若公差为d的等差数列na*nN,满足3410aa,则公差d的取值范围是____【答案】,22,【解析】由3410aa得22111123105610adadadad所以222546102ddd或2d三、解答题16.已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛,且6𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑎(𝑛∈𝑁∗).(1)求𝑎的值及数列{𝑎𝑛}的通项公式;(2)若𝑏𝑛=(3𝑛+1)𝑎𝑛+log3𝑎2𝑛,求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.【答案】(1)𝑎𝑛=3𝑛−1;(2)𝑇𝑛=(6𝑛−1)⋅3𝑛+14【解析】分析:(1)利用项和公式求a的值和数列{𝑎𝑛}的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.详解:(1)∵6𝑆𝑛=3𝑛+1+𝑎(𝑛∈𝑁∗),∴当𝑛=1时,6𝑆1=6𝑎1=9+𝑎;当𝑛≥2时,6𝑎𝑛=6(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)=2×3𝑛,即𝑎𝑛=3𝑛−1,∵{𝑎𝑛}为等比数列,∴𝑎1=1,则9+𝑎=6,𝑎=−3,∴{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=3𝑛−1.(2)由(1)得𝑏𝑛=(3𝑛+1)3𝑛−1,∴𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=4×30+7×31+⋯+(3𝑛+1)3𝑛−1,3𝑇𝑛=4×31+7×32+⋯+(3𝑛−2)3𝑛−1+(3𝑛−1)3𝑛,∴−2𝑇𝑛=4+32+33+⋯+3𝑛−(3𝑛+1)3𝑛,∴𝑇𝑛=(6𝑛−1)⋅3𝑛+14.点睛:(1)本题主要考查等比数列通项的求法和错位相减求和,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的计算能力.(2)若数列{𝑏𝑛·𝑐𝑛},其中{𝑏𝑛}是等差数列,{𝑐𝑛}是等比数列,则采用错位相减法.错位相减的结果一定要化成(𝑎𝑛+𝑏)𝑐𝑑𝑛+𝑒+𝑓的形式,并把n=1代入检验.试卷第8页,总13页17.已知等差数列{𝑎𝑛}中,其前𝑛项和为𝑆𝑛,𝑎2=4,𝑆5=30.(1)求{𝑎𝑛}的首项𝑎1和公差𝑑的值;(2)设数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=1𝑆𝑛,求数列{�
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