《数值计算办法》试题集及参考答案

精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、410141014A，则A的LU分解为A。答案：15561415014115401411A3、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL4、近似值*0.231x关于真值229.0x有(2)位有效数字；5、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f(1),]4,3,2,1,0[f(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(12nab)；10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。精心整理12、为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。13、用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。14、求解方程组042.01532121xxxx的高斯—塞德尔迭代格式为20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121。15、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN。16、求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12n)次代数精度。21、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。22、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a=(3)，b=（3），c=（1）。23、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则nkkxl0)((1)，nkkjkxlx0)((jx)，当2n时)()3(204xlxxkknkk(324xx)。24、25、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到_____2_____阶的连续导数。26、改变函数fxxx()1(x1)的形式，使计算结果较精确xxxf11。27、若用二分法求方程0xf在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。精心整理28、写出求解方程组24.016.12121xxxx的Gauss-Seidel迭代公式,1,0,4.026.111112211kxxxxkkkk，迭代矩阵为64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。31、设A5443,则A9。32、设矩阵482257136A的ALU，则U4820161002U。33、若4321()fxxx，则差商2481632[,,,,]f3。34、线性方程组121015112103x的最小二乘解为11。36、设矩阵321204135A分解为ALU，则U32141003321002。二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组bxA的必要条件是（C）。A．A的各阶顺序主子式不为零B．1)(AC．niaii,,2,1,0D．1A2、设700150322A，则)(A为(C)．A．2B．5C．7D．34、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)。A．对称阵B．正定矩阵C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值精心整理C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值6、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．77、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A．控制舍入误差B．减小方法误差C．防止计算时溢出D．简化计算9、用1+3x近似表示31x所产生的误差是(D)误差。A．舍入B．观测C．模型D．截断10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A．3B．4C．5D．213、(D)的3位有效数字是0.236×102。(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第1次消元，选择主元为(A)。(A)－4(B)3(C)4(D)－916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B))!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，精心整理(D))()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式21、解方程组bAx的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28163；(B)2423()；(C)216423()；(D)41631()。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）１1.5２2.5３3.5-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。29、计算3的Newton迭代格式为()(A)132kkkxxx；(B)1322kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。30、用二分法求方程324100xx在区间12[,]内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。32、设()ilx是以019(,,,)kxkk为节点的Lagrange插值基函数，则90()ikklk()精心整理(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。35、已知方程3250xx在2x附近有根，下列迭代格式中在02x不收敛的是()(A)3125kkxx；(B)152kkxx；(C)315kkkxxx；(D)3122532kkkxxx。36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，，，，，,用最小二乘法求n次拟合多项式)(xPn时，)(xPn的次数n可以任意取。()2、用1-22x近似表示cosx产生舍入误差。()3、))(())((210120xxxxxxxx表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵A=521352113具有严格对角占优。()四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知1345精心整理2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求)(xf的二次拟合曲线)(2xp，并求)0(f的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为4134103101510520120aaaaa6、已知xsin区间[0.4，0.8]的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果精心整理596274.063891.0sin，且7、构造求解方程0210xex的根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||nnxx。答案：解：令010)1(,02)0(,210e)(eff