解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形全国高考题汇总一全国1卷(19年1卷）17.ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc，从而可整理出cosA，根据0,A可求得结果；（2）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC，利用sinsinBAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC即：222sinsinsinsinsinBCABC由正弦定理可得：222bcabc2221cos22bcaAbc0,A3A（2）22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC又sinsinsincoscossinBACACAC，3A3312cossin2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC22sincos1CC223sin631sinCC解得：62sin4C或624因为6sin2sin2sin2sin02BCAC所以6sin4C，故62sin4C.（2）法二：22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC又sinsinsincoscossinBACACAC，3A3312cossin2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC，即3sin3cos23sin66CCC2sin62C由2(0,),(,)3662CC，所以,6446CC62sinsin()464C.（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD.（1）求cosADB；（2）若22DC，求BC.（1）在ABD中，由正弦定理得：52sin45sinADB,∴2sin5ADB,∵90ADB,∴223cos1sin5ADBADB.（2）2ADBBDC,∴coscos()sin2BDCADBADB，∴coscos()sin2BDCADBADB,∴222cos2DCBDBCBDCBDDC,∴2282552522BC.∴5BC.【2017，17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长【解析】（1）面积．且，，，由正弦定理得，由得．（2）由（1）得，，，，又，，，，由余弦定理得①由正弦定理得，，②由①②得，，即周长为．【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解析】⑴，由正弦定理得：，∵，，∴∴，，∵，∴⑵由余弦定理得：，，，∴，∴，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝，故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝，即tan∠PBA＝.【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．【解析】（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代入（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，．二．全国2卷（2017·17）的内角的对边分别为,已知．（1）求；（2）若,面积为2，求．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．（2016·9）D解析：∵，，故选D．（2014·4）B解析：∵，即：，∴，即或．又∵，∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：.（2012·9）A解析：由得，，.（2011·5）B解析：由题知,，故选B.（2011·11）A解析：的最小正周期为π，所以，又，∴f(x)为偶函数，，，故选A.二、填空题（2017·14）【解析】∵，，∴，设，，∴，函数对称轴为，∴．（2016·13）解析：∵，，∴，，，由正弦定理得：，解得．（2014·14）1解析：∵∵，∴的最大值为1.（2013·15）解析：由，得tanθ＝，即sinθ＝cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝，sinθ＝，sinθ＋cosθ＝.（2011·16）解析：,，，，，故最大值是.三、解答题（2017·17）的内角的对边分别为,已知．（1）求；（2）若,面积为2，求．解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及，故，上式两边平方，整理得，解得.【解法2】由题设及，所以，又，所以，.（Ⅱ）由，故，又，由余弦定理及得，所以b=2．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.（Ⅱ）因为，，所以，在和中，由余弦定理知，，，故，由（Ⅰ）知，所以.（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB①，又A＝π-(B+C)，故sinA＝sin(B+C)＝sinBcosC+cosBsinC②，由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以.（Ⅱ）△ABC的面积.由已知及余弦定理得.又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.解析：（Ⅰ）由及正弦定理可得，，，，，，，，，，.（Ⅱ），，，，，，解得.三．全国3卷（17年）17．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0AA，27a，2b．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD△的面积．【解析】（1）由sin3cos0AA得π2sin03A，即ππ3AkkZ，又0,πA，∴ππ3A，得2π3A.由余弦定理2222cosabcbcA.又∵127,2,cos2abA代入并整理得2125c，故4c.（2）∵2,27,4ACBCAB，由余弦定理22227cos27abcCab.∵ACAD，即ACD△为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又2π3A，则2πππ326DAB，1πsin326ABDSADAB△.