空间向量及其运算-

第42讲空间向量及其运算双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．考试大纲——知识梳理——一、空间向量及其有关概念第42讲空间向量及其运算返回目录双向固基础语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线________共面向量平行于________的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb平行或重合同一平面a＝λb第42讲空间向量及其运算返回目录双向固基础语言描述空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)使得p＝________________．(2)推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→且x＋y＋z＝________xa＋yb＋zc１a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)向量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒______________________________(λ∈R)垂直a⊥b⇔_________________________________夹角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32b12＋b22＋b32二、向量的坐标运算返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0三、两个向量的数量积返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算1．a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．a⊥b⇔____________．3．|a|2＝________，|a|＝x2＋y2＋z2.a·b＝0a2——疑难辨析——返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算1．空间向量的线性运算(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．()(3)若a，b共线，则a与b所在直线平行．()(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．()(5)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′→，AD′→，BD→是共面向量．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)√返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算[解析](1)中四点恰好围成一封闭图形，正确．(2)当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|.(3)a，b所在直线可能重合．(4)需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面．(5)∵AD′→－AB′→＝B′D′→＝BD→，∴AB′→，AD′→，BD→共面.返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算2．共线、共面与垂直(1)已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝7.()(2)已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为1或－3.()(3)与向量a＝(1，－1，－2)垂直的一个向量的坐标的是－12，32，－1.()(4)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于657.()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算[解析](1)∵(ka－b)⊥b，∴(ka－b)·b＝0，∴ka·b－b2＝0，∴k＝b2a·b＝12＋22＋32（－1）×1＋1×3＝7.(2)∵a⊥b且|a|＝6，∴2×2＋4y＋2x＝0，22＋42＋x2＝6⇒x＝4，y＝－3或x＝－4，y＝1.∴x＋y＝1或x＋y＝－3.(3)由两向量垂直的充要条件可得．(4)∵a，b，c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7＝2m－n，5＝－m＋4n，λ＝3m－2n，∴λ＝657.返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算3．空间向量的数量积(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则(a＋b)·(a－b)的值为－13.()(2)已知a＝(1，2，－2)，b＝(0，2，4)，则a，b夹角的余弦值为－2515.()[答案](1)√(2)√返回目录双向固基础第42讲空间向量及其运算[解析](1)a＋b＝(10，－5，－2),a－b＝(－2，1，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝－13.(2)cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－2515.说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2019年课标地区真题卷情况．返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算考点统计题型(考频)题型示例(难度)1.空间向量的线性运算02.空间向量基本定理的应用03.空间直角坐标系与空间向量的坐标运算04.空间向量数量积的应用0►探究点一线面、面面垂直的基本问题返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算例1(1)[2012·海口二模]在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设AC′→＝xAB→＋2yBC→＋3zCC′→，则x＋y＋z的值为()A.116B.56C.23D.76(2)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于()A.AG→B.12AG→C.BC→D.12BC→返回目录第42讲空间向量及其运算点面讲考向[思考流程](1)分析：理解向量的加法，减法和数乘运算；推理：正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量；结论：根据对应系数相等求x＋y＋z的值．(2)分析：理解向量的线性运算；推理：利用向量的加、减法运算；结论：计算得出结论．[答案](1)A(2)A返回目录第42讲空间向量及其运算[解析](1)∵在平行六面体中，AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→，又AC′→＝xAB→＋2yBC→＋3zCC′→，∴x＝1，2y＝1，3z＝1∴x＝1，y＝12，z＝13，∴x＋y＋z＝116.(2)依题意有AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋BG→＝AG→.点面讲考向归纳总结对于两个向量的问题，由于其一定在同一个平面上，空间向量和平面向量中的结论是完全一致的，其中加减法、数乘向量的定义、向量的数量积在定义上、运算律和性质上与平面向量完全一致，要把平面向量和空间向量统一起来．返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算►探究点二空间向量基本定理的应用返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算例2(1)[2012·南宁一模]已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算(2)[2012·西宁一模]如图7－42－1，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→，则x＋y＝________．图7－42－1返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算[思考流程](1)分析：理解空间向量基本定理；推理：根据空间向量基底不共线；结论：可得向量c.(2)分析：理解空间向量基本定理和共面定理；推理：根据共面定理，PQ→与PO→不共线；结论：求出x，y，得出x＋y的值．[答案](1)C(2)0返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算[解析](1)∵a，b，c不共面，∴p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b，则a，b，c共面，矛盾，故p，q，c不共面．(2)PA→－PD→＝DA→＝OA→－OD→＝－OC→－OD→＝－(OC→＋OD→)＝－2OQ→＝－2(PQ→－PO→)＝2PO→－2PQ→，∵PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→，∴PA→－PD→＝xPO→＋yPQ→，∴2PO→－2PQ→＝xPO→＋yPQ→，∵PQ→与PO→不共线，∴x＝2，y＝－2，∴x＋y＝0.归纳总结空间向量基本定理是空间向量最重要的定理，这个定理说明只要给出了空间三个不共面的向量，以这组向量为基底，空间的任何向量都可以使用这组基底唯一地线性表示．返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算►探究点三空间直角坐标系与空间向量的坐标运算返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算例3(1)已知在空间直角坐标系O－xyz中，点A(－3，5，－2)，a＝(－1，1，1)，在yOz面上找一点B，使得AB→∥a，则点B的坐标为________．(2)已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，－1)，C(0，－1，2)，则点C到直线AB的距离为________．返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算[思考流程](1)分析：理解空间坐标系和空间坐标运算；推理：根据共线向量坐标之间关系做题；结论：求出对应点B坐标．(2)分析：理解向量的夹角公式坐标表示；推理：求出cos〈AB→，AC→〉；结论：根据d＝|AC→|·sin〈AB→，AC→〉得出结论．[答案](1)(0，2，－5)(2)63返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算[解析](1)设B(0，y，z)，则AB→＝(3，y－5，z＋2).∵AB→∥a，∴存在一个实数λ，使得AB→＝λa，即(3，y－5，z＋2)＝λ(－1，1，1)，∴3＝－λ，y－5＝λ，z＋2＝λ，解得λ＝－3，y＝2，z＝－5，∴点B的坐标为(0，2，－5)．(2)AB→＝(1，1，－1)，AC→＝(－1，－1，2)，cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝－43·6＝－223，∴sin〈AB→，AC→〉＝13，∴点C到直线AB的距离d＝|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝63.归纳总结空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量的模、向量的夹角，在研究几何问题中只要我们建立适当的坐标系，把空间几何体中涉及的直线和平面使用向量表示，就可以使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想．返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算变式题(1)[2012·郑州一模]已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2(2)[2012·长沙一模]已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°［答案］(1)D(2)C返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算[解析](1)a－λb＝(λ－2，1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.(2)a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝12＋22＋32＝14，所以cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a，c〉＝120°.►探究点四空间向量的数量积的应用返回目录点面讲考向第42讲空间向量及其运算例４[2012·贵阳一模]如图7－42－2所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60