第一章---1.2---1.2.2---第二课时---分段函数与映射

第一章2突破常考题型题型一1理解教材新知知识点一知识点二题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第二课时分段函数与映射返回1.2函数及其表示返回1．2.2函数的表示法第二课时分段函数与映射返回[提出问题]某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：(1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．分段函数返回问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？提示：有函数关系．问题2：函数的表达式是什么？问题3：x与y之间有何特点？提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．提示：y＝2，0＜x≤5，3，5＜x≤10.返回[导入新知]如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．返回[化解疑难]分段函数的三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.返回映射[提出问题]A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能．问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．返回[导入新知]映射的定义设A、B是两个的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．非空任意一个唯一确定f：A→B返回[化解疑难]映射与函数的联系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数返回分段函数求值问题[例1]已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．返回[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2－322，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.返回(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2－2，不合题意，舍去．当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.返回[类题通法]1．求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．返回[活学活用]已知函数f(n)＝1，n＝1，2，n＝2，fn－2＋fn－1，n∈N*，n≥3.求：f(3)，f(4)，f[f(4)]的值．解：由题意可知f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3.f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5.f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.返回分段函数的图象及应用[例2](1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．返回(2)已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．(1)[解析]由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．[答案][－1,2][－1,1)返回(2)[解]①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，当－2x0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.∴f(x)＝1，0≤x≤2，1－x，－2x0.②函数f(x)的图象如图所示，③.由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．返回[类题通法]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．返回[活学活用]已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．返回解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(x1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴k＋b＝1，b＝2，解得k＝－1，b＝2，∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x1)．返回同理，x3时，函数的解析式为y＝x－2(x3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a0)．∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1.∴1≤x≤3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综上可知，函数的解析式为y＝－x＋2，x1，－x2＋4x－2，1≤x≤3，x－2，x3.返回映射的概念[例3]判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：作圆的内接矩形；(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝12x.返回[解](1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝12x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．返回[类题通法]判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；(2)B中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．返回[活学活用]已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→x2x＋1.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(2)与B中元素49相对应的A中的元素是什么？返回解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得x2x＋1＝12×1＋1＝13，即与A中元素1相对应的B中的元素是13.(2)B中元素49，即x2x＋1＝49，解得x＝4，因此与B中元素49相对应的A中的元素是4.返回2.函数在实际中的应用返回[典例](12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．返回[解题流程]求线l左边部分的面积y关于x的解析式(1)欲求l左侧的面积，应先确定形状(2)l在AB之间，l在DC之间时，其左侧的形状不同，应分类讨论l自左向右移动→确定l左侧图形形状→求图形面积→建立所求函数解析式→画图像返回[规范解答]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm.又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(2分)返回(1)当点F在BG上时，即x∈[0,2]时，y＝12x2；(4分)(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝x＋x－22×2＝2x－2；(6分)[名师批注]此时，l左侧的部分为等腰直角三角形△BFE.此时，l左侧的部分为直角梯形，且上底为x－2，下底长为x，此处易搞错上底的值而导致解题错误.返回(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.(8分)综合(1)(2)(3)得函数解析式为y＝12x2，x∈[0，2]，2x－2，x∈2，5]，－12x－72＋10.x∈5，7]，10分此时，l左侧的部分为一个五边形，可利用梯形的面积减去其右侧等腰直角三角形的面积，此处易发生因不会合理转化，造成解题繁琐导致解题失误.易忽视将其解析式写成分段函数的形式而造成解题步骤不完整而失分.返回函数图象如图所示．应注意函数的定义域，及图象在[0,2]上是下凸的，而在(5,7]上是上凸的.返回[活学活用]某汽车以52km/h的速度从A地行驶到260km远处的B地，在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数．返回解：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以，当0≤t≤5时，s＝52t；当5t≤6.5时，s＝260；当6.5t≤10.5时，s＝260＋65(t－6.5)．所以s＝52t，0≤t≤5，260，5t≤6.5，260＋65t－6.5，6.5t≤10.5.返回[随堂即时演练]1．已知集合A＝[0,4]，B＝[0,2]，按对应关系f不能构成从A到B的映射的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝x－2C．f：x→y＝xD．f：x→y＝|x－2|返回解析：因为在对应关系f：x→y＝x－2的作用下，A中元素0的对应元素为－2，但－2不在集合B中，故按此对应关系不能构成从A到B的映射.答案：B返回2．已知函数f(x)＝x＋1，x∈[－1，0]，x2＋1，x∈0，1]，则正确的函数图象是()解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，显然D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．所以选A.答案：A返回3．已知f(x)＝0，x0，－1，x＝0，2x－3，x0，则f{f[f(5)]}等于________．解析：f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝2×(－1)－3＝－5.答案：－5返回4．函数f(x)＝x＋2x≤－1x2－1x2，若f(x)＝3，则x的值是________．解析：当x≤－1时，x＋2＝3得x＝1舍去，当－1x2时，x2＝3得x＝3或x＝－3(舍去)．答案：3返回5.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)