三角函数与三角变换【最新】

三角函数与三角变换【真题体验】1．(2012·江苏改编)已知cosx＋π3＝13，则sinπ6－x＝________.解析sinπ6－x＝cosx＋π3＝13.2．(2012·江苏)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解析由条件可得cos2α＋π3＝2ccs2α＋π6－1＝725，sin2α＋π3＝2425，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝222425－725＝17250.3．(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.解析因为由图象可知振幅A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以周期T＝π＝2πω，解得ω＝2，将7π12，－2代入，解得一个符合的φ＝π3，从而y＝2sin2x＋π3，∴f(0)＝62.4．(2012·南通、泰州、扬州调研)已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则fπ12＝________.解析由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，得T＝2π3＝2πω⇒ω＝3，又角φ的终边经过点P(1，－2)，所以sinφ＝－25，cosφ＝15，所以f(x)＝sin(3x＋φ)fπ12＝sinπ4＋φ＝2215－25＝－1010.5．(2010·江苏)定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．解析线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx＝5tanx，整理得6sin2x＋5sinx－6＝0，解得sinx＝23.线段P1P2的长为23.【应对策略】三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题．需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合．必备知识1．三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等；2．同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2α＋cos2α＝1，商数关系：tanα＝sinαcosα.根据同角三角函数的基本关系，如果已知角α的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定．3．诱导公式揭示的是k·π2±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握；5．熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2等．必备方法1．解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：(1)认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型；(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型．2．三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知识求解．3．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．命题角度一三角变换与求值[命题要点]①给角求值；②给值求值；③给值求角．【例1】►(2011·江苏)已知tanx＋π4＝2，则tanxtan2x的值为________．[审题视点]由已知条件先确定tanx的值，再化简待求式，然后代入求得．解析由tanx＋π4＝2，得tanx＋11－tanx＝2，解得tanx＝13，所以tanxtan2x＝tanx2tanx1－tan2x＝1－tan2x2＝1－192＝49.给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角；给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系；给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调．【突破训练1】(2012·江西改编)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝________.解析已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的．∵tanθ＋1tanθ＝1＋tan2θtanθ＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2tanθ4tanθ＝12.命题角度二三角函数的图象与性质[命题要点]已知函数图象求函数解析式；三角函数性质的简单应用．【例2】►函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象(如图所示)，求其解析式．[审题视点]先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将(0，2)代入求A的值．解设函数的周期为T，则34T＝7π8－π8＝34π，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2.又∵2×π8＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.∴函数解析式为y＝Asin2x＋π4.又图象过点(0，2)，∴Asinπ4＝2，∴22A＝2，∴A＝2.∴所求函数的解析式为y＝2sin2x＋π4.(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期．【突破训练2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，|φ|＜π2，ω＞0的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解(1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，所以1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.又因为1112π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以11π12ω＋π6＝2π，所以ω＝2.故f(x)＝2sin2x＋π6.(2)设2x＋π6＝B，则函数y＝2sinB的对称轴方程为B＝π2＋kπ，k∈Z，即2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解上式得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以f(x)＝2sin2x＋π6的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．命题角度三三角函数的图象和性质的综合应用[命题要点]①三角函数的值域；②三角函数的最小正周期；③三角函数的单调区间；④三角函数的对称性．【例3】►(2012·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间0，π4上的函数值的取值范围．[审题视点]将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域．解(1)因为f(x)＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈0，π4时，2x－π6∈－π6，π3，故所求的值域为－12，32.求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围．【突破训练3】(2012·苏州期中)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的值域．解(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.∴T＝2π2＝π.(2)∵x∈0，π2，∴2x－π6∈－π6，5π6∴sin2x－π6max＝1，sin2x－π6min＝－12即f(x)＝sin2x－π6的值域为－12，1.4．解决三角函数需注意的两个问题一、要充分挖掘题中隐含条件【例1】►在△ABC中，如果4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝33，则∠C的大小是________．解析两式平方相加并化简得sin(A＋B)＝12，所以sinC＝12，得∠C＝π6或5π6，检验：当∠C＝5π6时，A＋B＝π6，则A，B∈0，π6，sinA∈0，12，cosB∈32，1，4sinA＋2cosB∈(3，4)与4sinA＋2cosB＝1矛盾，所以∠C＝5π6舍去，即∠C＝π6.老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化简得sinA＋B＝12，所以sinC＝12，得∠C＝π6或5π6，产生了增根5π6.二、给值求角时要注意缩小所求角的范围【例2】►若tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值为________．解析由上面解得tanα＝13，α∈(0，π)，所以α的范围可以缩小为0，π4，同理，由tanβ＝－17以及β∈(0，π)，β的范围可以缩小为π2，π，所以2α－β∈(－π，0)，又tan(2α－β)＝1，所以2α－β的值为－3π4.老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α－β∈2π4，得2α－β的值为－3π4或π4或5π4，这种错误主要是没有对2α－β的范围进行缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要.5．练习1．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tanx＋π4的单调递增区间是kπ－34π，kπ＋π4(k∈Z)；③函数y＝2tan2x＋π3的定义域是xx≠π12＋kπ，k∈Z；④函数y＝tanx＋1在－π4，π3上的最大值为3＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．2．(2012·苏北四市调研)已知函数f(x)＝sinπ4＋x·sinπ4－x＋3sinxcosx(x∈R)．(1)求fπ6的值；(2)在△ABC中，若fA2＝1，求sinB＋sinC的最大值．3．已知函数f(x)＝a2cos2x2＋sinx＋b，当x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．4．(2012·广东)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(