复数的运算说课稿说课材料

复数的运算说课稿林萍萍2012-10-21一、说教材（一）教材的地位与作用：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。。3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。（二）学情分析：1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。（三）教学目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。2、能力目标：培养学生运算的能力。3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点（五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法：（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。二、说教法：1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。三、说学法：1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养学生归纳问题、转化问题的努力。四、说课过程：（一）、复习提问：1、1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立奎屯王新敞新疆2、i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i奎屯王新敞新疆3、复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部。4、复数的分类：复数a+bi(a，b∈R)，当b=0时，就是实数;当b≠0时，叫做虚数;当a=0，b≠0时，叫做纯虚数;5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。6、复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。7、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，22||zabiab；积或商的模可利用模的性质（1）112nnzzzzz，（2）112220zzzzz8、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆实轴上的点都表示实数奎屯王新敞新疆对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数奎屯王新敞新疆复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab（二）类比代数式，引入复数运算：一、复数代数形式的加减运算类似根据代数式的加减法，则复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.,,,abcdR复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.,,,abcdR二、复数的加法运算满足交换律和结合律1、复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.bZ(a，b)aoyx证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.2、复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律奎屯王新敞新疆三、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Zab一一对应平面向量OZ2.复数zabi一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为1OZ、2OZ，即1OZ、2OZ的坐标形式为1OZ=(a，b)，2OZ=(c，d)奎屯王新敞新疆以1OZ、2OZ为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，∴OZ=1OZ+2OZ=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，1OZ为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量2OZ就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应奎屯王新敞新疆由于21OZZZ，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4)i=－11i奎屯王新敞新疆例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…[phone]i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i奎屯王新敞新疆例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即AB所表示的复数是zB－zA.，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错奎屯王新敞新疆尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关奎屯王新敞新疆5、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.,,,abcdR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；,,zabizabiabR，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||zzab2222,zzabRzzzz，111212121222,,zzzzzzzzzzzz7、复数的除法：12zz(a+bi)(c+di)=dicbia=2222acbdbcadicdcd,,,abcdR，分母实数化是常规方法复数的运算，典型例题精析：例4．（1）复数(1+i)21－i等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数(1+i)21－i=2(1)11iiiii，选C．（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知2211iZiZiZii；（3）设复数z满足关系izz2||，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得ibabia222由复数相等可得：1222bbaa，解得1,43ba，所以iz43设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（4）若Cx，解方程xix31||解：设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:ibaba)3(122,由复数相等的定义可得：03122baba,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。例4：(1)复数z满足1||||22iziz，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。8.复数的代数式运算技巧：（1）i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1奎屯王新敞新疆nZ44142430nnnniiiinZ（2）①ii2)1(2②ii2)1(2③iii11④iii11（3）“1”的立方根i2321的性质：①13②2③012④11⑤1扩充知识：9、特别地，ABzzB－zA.，BAABzABzz为两点间的距离。12||||zzzzz对应的点的轨迹是线段12ZZ的垂直平分线；0||zzr，z对应的点的轨迹是一个圆；1212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是一个椭圆；1212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：12121222221212122zzzzzzzzzzzz11、实系数一元二次方程的根问题：（1）当042acb时，方程有两个实根21,xx。（2）当042acb时，方程有两