高二数学2-2变化率与导数导学案

株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案1§1.1变化率与导数学案学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.二、新课学习（阅读课本1-4页）(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析：(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:5.00t和21t的平均速度v探究:计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数)(xf从1x到2x的平均变化率.2.若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于1x的一个“增量”可用xx1代替2x,同样)()(12xfxfyf)hto株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案2则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考:观察函数)(xf的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?三、典例分析例1已知函数xxxf2)(的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB则xy.解:.[例2]求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率变式题：已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率．(1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1；(3)a＝－2，b＝1.5.[例3]求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．变式题：过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．四。平均变化率的应用[例4]试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率哪一个大？五、课堂反馈及作业一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案3C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()A．3B．0.29C．2.09D．2.94．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()A．2B．2.3C．2.09D．2.15．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·Δx6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)27．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.38．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()A．v0B.Δts(t0＋Δt)－s(t0)C.s(t0＋Δt)－s(t0)ΔtD.s(t)t10．已知曲线y＝14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A.1＋Δx，14(Δx)2B.Δx，14(Δx)2C.1＋Δx，14(Δx＋1)2D.Δx，14(1＋Δx)2二、填空题株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案411．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.12．在x＝2附近，Δx＝14时，函数y＝1x的平均变化率为________．13．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝12时的平均变化率为________．14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．16．过曲线f(x)＝2x2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝14时割线的斜率．17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？18．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案5hto§1.1.2导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.学习过程：（阅读课本4-6页）(一)平均变化率：(二)探究探究:计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况:思考:当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？结论:小结:2.导数的概念从函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx出的导数,记作'0()fx或0'|xxy即0000()()()limxfxxfxfxx株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案6说明:(1)导数即为函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率;(2)0xxx,当0x时,0xx,所以0000()()()limxxfxfxfxxx.三、典例分析例1用定义求函数在某点处的导数(1)求函数23xy在1x处的导数.(2)求函数xxxf2)(在1x附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:先求)()(00xfxxfyf,再求xy,最后求xyx0lim.解:(1)(2)一用定义求函数在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)Δx趋近于0时，若ΔyΔx趋近于一个常数，则这个常数就是函数在该点处的导数．例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)fxxxx,计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注:一般地,'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况.、二定义的应用[例3]若函数f(x)在x＝a处的导数为A，求：(1)limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx；(2)limt→0f(a＋4t)－f(a＋5t)t.株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案7四、课堂练习1.质点运动规律为32ts,求质点在3t的瞬时速度为.2.求曲线3)(xxfy在1x时的导数.3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈及课后作业一、选择题1．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．813．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．14．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()A．37B．38C．39D．405．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()A．4aB．2a＋bC．bD．4a＋b8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()A．0B．3C．－2D．3－2t10．设f(x)＝1x，则limx→af(x)－f(a)x－a等于()A．－1aB.2aC．－1a2D.1a2二、填空题株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案811．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．14．已知f′(x0)＝limx→x0f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→32x－3f(x)x－3的值是________．三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx(2)f′(1)．18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．株洲世纪星实验学校高二数学2-2导学案9§1.1.3导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题