导数与泰勒公式成品

1导数与泰勒公式泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n次多项式()npx,去逼近一个已知的函数fx，而且这种逼近有很好的性质：()npx与fx在x点具有相同的直到阶n的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法.泰勒公式知识：设函数fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在0x与x之间至少存在一点，使得：fx=0fx+0'fx0(x-x)+0f''x2!02(x-x)++0nfxn!0n(x-x)+nRx，其中nRx(1)(1)!nfn10)(nxx称为余项，上式称为n阶泰勒公式；若0x0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即fx=0f+0'fx+02!f''2x++0!nfnnx+0()nx.利用泰勒公式证明不等式：若函数)(xf在含有0x的某区间有定义,并且有直到)1(n阶的各阶导数,又在点0x处有n阶的导数)(0)(xfn,则有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn在上述公式中若0)(xRn(或0)(xRn),则可得)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nnxxnxfxxxfxxxfxfxf或)(00)(200000)(!)()(!2)()(!1)()()(nnxxnxfxxxfxxxfxfxf2常见的泰勒公式2.泰勒公式的余项可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺(Peano）余项：这里只需要n阶导数存在2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：3其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）[1]3、拉格朗日（Lagrange）余项：其中θ∈（0,1）。4、柯西（Cauchy）余项：其中θ∈（0,1）。5、积分余项：以上诸多余项事实上很多是等价的。1、证明:).11(,32)1ln(32xxxxx　　证明设)11)1ln()(xxxf　（则)(xf在0x处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式)11()1(432)1ln(4432　　　xxxxx0)1(444x　32)1ln(32xxxx　4由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点0x在0x处展开,然后判断余项)(xRn的正负,从而证明不等式.对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在00x时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.2、证明不等式：316xx≤sinx.不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系。这时我们可用sinx在00x的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。证明31()sin6fxxxx,(0)0f,21'()cos12fxxx,'(0)0f,''()sinfxxx,''(0)0f,'''()cos1fxx,'''()cos1f当3n时，()fx的泰勒展式为：331()000(1cos)()3!fxxxox()fx331(1cos)()6xxox≥0(x≥0,≤x,0＜＜1)所以x≥0,，有316xx≤sinx.在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.3、证明不等式：2128xx＜1x，（x＞0）.对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但x的次数却提高了2次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.证明设()1fxx，则(0)1f,121'()(1)2fxx,1'(0)2f,321''()(1)4fxx,1''(0)4f,523'''()(1)8fxx代入0x=0的二阶泰勒公式，有1x=1+2x-28x+5331(1)16xx(0＜＜1)5∵x＞0,∴531(1)16x3x＞0所以2128xx＜1x（x＞0）.在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在0x=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.高中常用的泰勒公式1.ln(1)1xxx变式：(1).11ln10xxxx(2)ln(1)11xxxex6(3)223ln(1),(0)223xxxxxxx2332(1)ln(1),(0)23!xxxxx23446(1)ln(1),(0)23!4!xxxxxx(4)11ln()1,(1)2xxxxx1.2013全国卷：()ln()xfxexm(2)当2m时，求证，()0fx。1ln(2)xexx，注意取等条件。7例1.2012年天津(理)(2)2ln(1)xxkx恒成立，求k的最小值？思路，21ln(1)2xxx恒成立，要使2ln(1)xxkx恒成立，只要2212xkxxx成立即可，解出12k。变式，0x，2ln(1)112xkxxx恒成立，求k的最小值。23ln(1)23xxxx恒成立，即要3223111223kxxxxxx，所以13k。例2.2010湖北(理)(2)121lnaaxaxx在1,上恒成立，求a的最小值。思路，11ln2xxx恒成立，要使1ln21axaxax恒成立，只要111212aaxaxxx成立即可。整理解得12a。例3.大一中月考卷8已知函数()2lnfxxaxa，aR(2)若()0fx恒成立，证明：当120xx时，21211()()121fxfxxxx思路，若()0fx恒成立，则1(1)(1)2axx解得2a。21211()()121fxfxxxx变形得，21211lnln1xxxxx，即证2211ln1xxxx即当1x时，证明ln1xx。2.2331111()1!2!3!xexxxx，1xex233(1)(1)(1)((1))2!3!xeeeeexxxx，xeex例1.2010年全国文科设函数2()1xfxxeax，(2)若当0x时都有()0fx，求实数a的取值范围。思路，()0fx变形为1xeax，因为1xex恒成立，所以11axx即可，所以1a。例2.2010年全国理科设函数2()1xfxexax，(2)若当0x时都有()0fx，求实数a的取值范围。思路，因为212xxex恒成立，所以221112axxxx即可，所以12a。例3.2014年全国一卷9设函数1()lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线为(1)2yex。(1)求a，b的值。(2)证明()1fx。思路，由第一问可知，1,2ab，不等式12ln1xxeexx，0x，等价于不等式2ln1xexex，0x，借助重要不等式1xex,变形可知，xeex，1xx，1lnxex，lnxx于是212ln()1xexexexexex，因为上式等号不能同时成立，所以不能取等。找公共点做公切线2013年大连双基已知函数2()ln()fxxax，(3)当14a是，证明42()134fxx思路：将原式变形244ln213xxx，两个函数有公共点1,1，函数2()4lnfxxx在(1,1)的切线为23yx。4()213gxx在(1,1)的切线也是23yx，两个曲线一个上凸一个下凸，所以244ln23213xxxx。10