数学：3.3《幂函数》课件(新人教B版必修1)

3.3幂函数知识整合1．一般地，形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中________是自变量，________是常数．特别警示：幂函数必须是形如y＝xα(α∈R)的函数，幂函数的系数为1，底数为单一的自变量x，指数为常数．例如：y＝3x4，y＝x2＋1，y＝(x－2)2等都不是幂函数．2．幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在________上都有定义，并且图象都通过点________；(2)如果α0，则幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________；(3)如果α0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是________．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近________轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近________轴．(4)如果幂函数图象过第三象限，则一定过点________．答案：1.y＝xαxα2．(0，＋∞)(1,1)原点增函数减函数y轴x轴(－1，－1)名师解答当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．我们只研究n是有理数的情况，规定n＝pq是既约分数．(1)如下表所示：y＝xn奇函数(p奇q奇)n1y＝xn奇函数(p奇q奇)0n1n0(2)当n∈N＋时，定义域为R；当n＝0时，定义域为{x|x≠0}；当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；当n＝pq(p，q∈N＋，q1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)；②若q为奇数，则定义域为R；当n＝－pq(p，q∈N＋，q1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)；②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}．(3)①在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象越在上边．深入学习题型一各种函数概念的区别【例1】已知函数，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．分析：利用函数的定义解题．(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0，⇒m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.评析：对于第(4)小题，要防止下面的错误：“m2＋2m＝1，得m＝－1±2，因为当m＝－1±2时，m2＋m－1不是有理数．所以f(x)不可能为幂函数”，尽管中学阶段研究的幂函数为有理指数幂，但定义中的幂指数为任意实数；所以，它是幂函数．变式训练1(1)如果幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝－1或m＝2D．m＝1(2)幂函数f(x)＝(m2－m－1)在区间(0，＋∞)上是增函数，那么实数m的取值集合为________．答案：(1)B(2){－1}分析：(1)利用幂函数的定义求解．(2)根据幂函数的定义判断．解：(1)由题意知m2－3m＋3＝1，m2－m－2≤0，解得m＝1或m＝2.故应选B.(2)根据幂函数的定义，m2－m－1＝1.①根据幂函数的性质，若幂函数在区间(0，＋∞)上是增函数，则m2－2m－10.②由①②，得m＝－1.∴m的集合为{－1}．题型二幂函数的定义域和值域【例2】求下列函数的定义域和值域．分析：把分数指数幂化为根式，并使根式有意义．解：(1)y＝x6的定义域是R，值域是[0，＋∞)；评析：幂函数的定义域由解析式是否有意义来确定，实质上与指数有关，而定义域确定值域．变式训练2函数f(x)＝(m∈N)的定义域是________，奇偶性为________，单调区间为________．解：∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N)是非负偶数，∴m2＋m＋1＝m(m＋1)＋1是正奇数．∴定义域为R.∴f(x)为奇函数．又由，知f(x)是正的奇次根式．答案：R，奇，(－∞，＋∞)．题型三利用幂函数的性质比较大小【例3】比较下列各组数的大小：评析：比较大小的类型题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式训练3用不等号填空：(1)－5a－4a，则a________0；(2)若0.39b0.38b，则b________0.解析：(1)由－5a－4a得，5a4a，∴y＝xa为增函数，∴a0；(2)由0.39b0.38b，又0.390.38，∴y＝xb为减函数，∴b0.答案：(1)(2)题型四函数奇偶性的判断【例4】已知幂函数f(x)＝(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)讨论φ(x)＝af(x)－bxf(x)的奇偶性．分析：(1)利用幂函数的性质求解；(2)先求φ(x)的解析式，再求a、b，确定φ(x)的奇偶性解：(1)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－30，∴－1m3.又∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而m＝0,2时，f(x)＝x－3不是偶函数；m＝1时，适合．∴m＝1，f(x)＝x－4.(2)∵φ(x)＝ax2－bx3，∴φ(－x)＝ax2＋bx3.故①当a＝0，b＝0时，φ(x)既是奇函数又是偶函数；②当a＝0，b≠0时，φ(x)奇函数；③当a≠0，b＝0时，φ(x)为偶函数；④当a≠0，b≠0时，φ(x)既不是奇函数也不是偶函数．评析：由幂函数的性质，确定幂指数的取值范围．以达到求解的目的．变式训练4已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)0恒成立．∵x1－x20，x1x24，∴必须使ax1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x24，∴x1x2(x1＋x2)16，∴a的取值范围是(－∞，16]．整体探究解读题型一利用幂函数的性质求参数的取值范围【例1】求下列各式中参数的取值范围：分析：同指数两个幂的大小已知，就可利用单调性知底数的大小关系．评析：此类问题仍然是函数单调性的应用，同时也体现分类讨论的数学思想．题型二利用幂函数的图象解题【例2】点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)分析：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可．解：设f(x)＝xα，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象．如右图所示．由图象可知：(1)当x1或x－1时，f(x)g(x)；(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．评析：(1)函数图象在解方程和不等式时，有着重要的应用，请同学们仔细体会．(2)注意本题中，g(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，所以3问中不包括0.题型三幂函数的单调性问题【例3】指出函数f(x)＝x2＋4x＋5x2＋4x＋4的单调区间，并比较f(－π)与f(－22)的大小．分析：先化简函数解析式，再利用幂函数图象平移的有关知识解题．解：f(x)＝(x2＋4x＋4)＋1x2＋4x＋4＝(x＋2)－2＋1，其图象可由幂函数y＝x－2的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位得到如图．由于y＝x－2在(－∞，0)上是增函数；在(0，＋∞)上是减函数，故f(x)的图象关于直线x＝－2对称且在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减．∵f(－π)＝f[2·(－2)－(－π)]＝f(π－4)，又π－4，－22∈(－2，＋∞)且π－4－22，∴f(π－4)f(－22)，即f(－π)f(－22)．题型四幂函数在实际生活、生产中的应用【例4】某工厂的年产值从1949年的100万元增加到40年后的(1989年)的500万元，如果每年年增长率相同，则每年年产值增长率是多少？(自然对数lnx是以e＝2.718…为底的对数，本题中增长率x0.1，可用自然对数的近似公式ln(1＋x)≈x，取ln10＝2.3，lg2＝0.3来计算)分析：本题可用公式来求解．解法一：设每年年产值增长率为x，根据题意，有100(1＋x)40＝500，即(1＋x)40＝5.两边取自然对数，得40ln(1＋x)＝ln5.因为lg2＝0.3，所以lg5＝lg102＝1－lg2＝1－0.3＝0.7.则ln5＝ln10·lg5＝2.3×0.7＝1.61.利用ln(1＋x)≈x，得x≈ln540＝1.6140＝0.04025≈4%.解法二：设每年年产值增长率为x，根据题意，有100(1＋x)40＝500，即(1＋x)40＝5，两边取常用对数，得40lg(1＋x)＝lg5.所以lg(1＋x)＝lg540＝140(lg10－lg2)＝140×0.7.由换底公式，得ln(1＋x)ln10＝0.740.由已知条件ln(1＋x)≈x，得x≈ln(1＋x)＝0.740×ln10＝0.7×2.340＝0.04025≈4%.答：每年的年产值增长率约为4%.评析：1.本题联合考查幂函数、指数函数、对数函数，要注意综合能力的培养．2．若用a表示原有数量，x表示增长(降低)率，n表示时间，A表示经过时间n后的总量，则有A＝a(1＋x)n.这是应用较为广泛的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等变化率方面都涉及此式，根据方程思想，已知其中三个量，可求第四个量．题型五幂函数的综合应用【例5】已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．解：(1)由已知，设f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1.∴f1(x)＝x2.设f2(x)＝kx(k0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为A(k，k)，B(－k，－k)，由|AB|＝8，得k＝8，∴f2(x)＝8x.故f(x)＝x2＋8x.(2)证法一：由f(x)＝f(a)得x2＋8x＝a2＋8a，即8x＝－x2＋a2＋8a.在同一坐标系内作出f2(x)＝8x和f3(x)＝－x2＋a2＋8a的大致图象，如右图，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以(0，a2＋8a)为顶点，开口向下的抛物线．因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)＝f(a)有一个负数解．又∵f2(2)＝4，f3(2)＝a2＋8a－4，当a3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋8a－80，∴当a3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点