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5-1-3-2.数阵图.题库教师版page1of111.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1.定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.复合型数阵图【例1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个,老师将这9个数写在一个九宫格上,让同学选数,每个同学可以从中选5个数来求和.小刚选的5个数的和是120,小明选的5个数的和是111.如果两人选的数中只有一个是相同的,那么这个数是_____________.313233212223131211【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,决赛,3题【分析】这9个数的和:11121321222331323310203031233198()()由小刚和小明选的数中只有一个是相同的,可知他们正好把这9个数全部都取到了,且有一个数取了两遍.所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数.那么,这个数是12011119833.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图5-1-3-2.数阵图.题库教师版page2of11【答案】33【例2】如图1,圆圈内分别填有1,2,……,7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64,那么,中间圆圈内填入的数是。【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第5题,5分【解析】2【答案】2【例3】如下图(1)所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.(1)17894【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】为叙述方便,先在每个圆圈内标上字母,如图(2),(2)acb49817则有a+4+9=a+b+c(1)b+8+9=a+b+c(2)c+17+9=a+b+c(3)(1)+(2)+(3):(a+b+c)+56=3(a+b+c),a+b+c=28,则a=28-(4+9)=15,b=28-(8+9)=11,c=28-(17+9)=2解:见图.1789411215【答案】1789411215【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图(1)所示的圆圈内,使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填?5-1-3-2.数阵图.题库教师版page3of11【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】为了叙述方便,将各圆圈内先填上字母,如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.,因为56+A为5的倍数,得A=4,进而推出k=12,因为在1、2、3、5、6、7中,1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=1,F=5,D=6,则C=12-(4+1)=7,G=12-(4+5)=3,E=12-(4+6)=2.,解:得到一个基本解为:(见图)7654321【答案】7654321【例5】在左下图的每个圆圈中填上一个数,各数互不相等,每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值,便得到右下图。如果左下图中已有一个数1,请填出左下图中的其它数,使得右下图中的数都是自然数。【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯,6年级,决赛,第10题,10分【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同,另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。注:题中左、右两图是两个不同的图,左图要求各数互不相同(见答案),右图中各数是根据左图改的,只要求是自然数,可以相同。【答案】【例6】将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的内,并使每个面上的四个内的数字之和都相等。求与填入数字1的有线段相连的三个内的数的和的最大值。5-1-3-2.数阵图.题库教师版page4of11【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第13题,15分【解析】因为1到8的和为36,而上面四个数的和等于下面四个数的和,所以都为18。因为每个面的数字和相等,所以一个面上应当大小数搭配,也就是说,和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数8,7,6,则和1,8,7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2,和1,8,6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3,和1,7,6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4,剩下一个5填在剩下的○中,经检验,符合题意,那么与1相连的三个○的和是6782161827453【答案】21【例7】将自然数1到11分别填在右图的圆圈内,使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等.18-c-d18-b-cc+d-6b+c-612-d12-c12-bdcb61110987543216【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设左下角的数为a,每条直线上的三个数的和为S.由于这11个数的和为121166.从左下角引出的5条直线的总和为5S,其中左下角的数多计算了4次,则5664Sa;又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466Sa.从而结合上面的两个式子可得18S,6a,即左下角的数为6,每条线上的数之和为18.再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b,c,d,于是可得各个圆圈中的数如图所示.除6以外的10个数分别为:b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,6bc,6cd.由于18121818bcccd,得到330bcd,即303bdc.所以,只要选取适当的b,c,d的值,使得上面的10个数各不相同即可.比如,选择9c,1b,2d,则可得到如右上图所示的一种填法.本题答案不唯一,下面再给出两种填法。31052794861115498371021116【答案】5-1-3-2.数阵图.题库教师版page5of1131052794861115498371021116【例8】在下图中,在每个圆圈中填入一个数,使每条直线上所有圆圈中数的和都是234,那么标有★的圆圈中所填的数是_____________.★fedcba★【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,决赛,11题【分析】为表述方便,将圆圈中数用字母替代(如右图).根据题意,有234af★⑴234bc★⑵234ed★⑶234abe⑷234cdf⑸⑴⑵⑶⑷⑸,有3234★,即234378★.【答案】78【例9】请将1,2,3,…,10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内,使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等.那么乘积ABC?CBA【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,决赛,10题【【解解析析】】对于本题,可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系,将每一个小圆圈中的数表示出来.由于每一条直线上的数之和都为ABC,可得图中每一个小圆圈中的数如下图。2CA-C3CA+2CB-2CB-CA+CABC由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段,它们的数字和都是ABC,可以得到,332ABCBCAC,可得2ABC,代入得2333BCBC,5-1-3-2.数阵图.题库教师版page6of11即6BC,只能是1C,6B,28ABC,则86148ABC【答案】86148ABC【例10】下图中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.﹡【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设每行的和为S,在左下图中,除了a出现2次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有4(12311)66Saa;a﹡a﹡在右上图中除了a出现5次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有5(12311)4664Saa.综合以上两式,4665664SaSa,解得6a,18S.考虑到含有*的五条线,有4(12311)18590t,即424t.可见t是4的倍数,在1~11间可能为4和8,但t为8时也为8,重复.所以4t,7.即每行相等的和为18,标有*的圆圈中所填的数为7.最终的填法如右下图.t﹡1110987654321【答案】1110987654321【例11】“美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数,并且每个圆中4个数的和都是15。如果学比美大,美比园大,那么,园表示。5-1-3-2.数阵图.题库教师版page7of11【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】(走美杯3年级决赛第11题,12分)【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组:①1、2、5、7;②2、3、4、6;③1、3、4、7;④1、3、5、6需要从其中选出3组,其中每两个组间都有两个相等的数,且这三组都含有同一个数,分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④,当这三组数为①、③、④时即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3,5,6.其中①、③公有的是1,7;①、④公有是1,5;③、④公有1,3,即“妙,花,数”应为3,7,5其中之一.则剩下数字2,4,6应为美、学、园其中之一.又因为学美园,所以学6,美4,园2.当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园2.美5花4妙1学7的3数6园2【答案】2【例12】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数,它们的和等于130,三角形内两个数的和等于53,圆内三个数的和等于79,正方形内两个数的和等于50。那么,从左向右,这五个问号依次是?????【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第5题,5分【解析】根据题意答案为:25,28,27,24,26【答案】25,28,27,24,26【例13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志.请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分,并且使每个圆环内的数字之和都相等.【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【【解解析析】】设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于19的和45再加上两两重叠处的四个数之和.而两两重叠处的四个数之和最小是123410,最大是678930,所以,5453075k,5451055k,即1115k.当11k,13,14时可得四种填法(见右下图).dcba987654321123456789123456789987654321当15k时,如右上图,设两两重叠处的四个数分别为a,b,c,d,由上面的分析可知,a,b,5-1-3-2.数阵图.题库教师版page8
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