2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

第1页共11页2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合1,0,1,2,1,2,3,MN则MN（）A．MB．NC．1,0,1,2,3D．1,2【答案】C【解析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为集合1,0,1,2,1,2,3,MN所以MN{1,0,1,2,3}.故选:C【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题.2．设i是虚数单位，则复数1ii（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】A【解析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】1ii2(1)1iiii.故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）A．94B．93C．92D．91【答案】B【解析】去掉96和83后剩下5个数的和除以5可得答案.【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,第2页共11页它们的平均数为:9191949495935.故选:B【点睛】本题考查了利用平均数的定义求平均数,属于基础题.4．直线210xy的斜率是（）A．12B．12C．2D．2【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式,可得斜率.【详解】由210xy得1122yx,所以210xy的斜率为12.故选:A.【点睛】本题考查了由直线方程的斜截式求斜率,属于基础题.5．下列函数为偶函数的是（）A．3fxxB．()22fxx=-C．3fxxD．1fxx【答案】B【解析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.【详解】当()fx22x时,22()()22()fxxxfx,所以2()2fxx为偶函数,()3fxx为非奇非偶函数函数,3()fxx与1()fxx为奇函数.故选:B【点睛】本题考查了用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.6．（2015秋•河西区期末）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；第3页共11页由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选：B．【考点】三角函数值的符号．7．函数24fxxx的定义域是（）A．0,4B．0,4C．,04,D．,04,【答案】D【解析】利用被开方大于等于0列式,解一元二次不等式可得答案.【详解】由函数24fxxx有意义,可得240xx,解得4x或0x.故选:D.【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域,一元二次不等式的解法,本题属于基础题.8．在等差数列na中，若51015,10,aa则20a（）A．20B．5C．0D．5【答案】C【解析】设等差数列na的公差为d,根据已知条件列方程组,解得首项和公差,从而可得20a.【详解】设等差数列na的公差为d,则11415910adad,解得1191ad,所以2011919190aad.故选:C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.第4页共11页9．已知函数1,022,0xxfxxx，设1fa，则fa（）A．2B．12C．12D．32【答案】A【解析】由(1)fa求得1a,再根据分段函数解析式求得(1)f即可得到答案.【详解】因为1,022,0xxfxxx,所以(1)121f,所以1a,所以11(1)()22f.故选:A【点睛】本题考查了根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.10．设,xy满足约束条件201010yxyxy，则2zxy的最小值是（）A．2B．3C．5D．6【答案】C【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得z的最小值.【详解】作出可行域,如图所示:第5页共11页将目标函数2zxy化为斜截式得122zyx,由图可知,最优解为2()1,M,所以当1x,2y时,min1225z.故选:C【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键.11．设20.33log3,log2,log2abc，则（）A．cbaB．bacC．abcD．bca【答案】D【解析】根据对数的性质以及单调性可比较大小.【详解】因为22log3log21a,0.30.3log2log10b,33log2log31c,33log2log10c,所以bca.故选:D【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题.12．直线:20lxy被圆22:3Cxy截得的弦长为（）A．22B．2C．2D．1【答案】B【解析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长.【详解】由22:3Cxy可知圆心为(0,0),半径为3,所以圆心到直线:20lxy的距离为|002|211d,由勾股定理可得弦长为222(3)(2)2.故选:B【点睛】第6页共11页本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.13．已知命题000:0,,ln1,pxxx则p为（）A．0000,,ln1xxxB．0,,ln1xxxC．0000,,ln1xxxD．0,,ln1xxx【答案】D【解析】先否定存在量词,改为全称量词,再否定结论.【详解】因为命题000:0,,ln1,pxxx所以p为:0,,ln1xxx.故选:D【点睛】本题考查了含有一个存在量词的命题的否定,属于基础题.14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）（参考公式：球的表面积公式为24SR，其中R是球的半径）A．3B．4C．8D．12【答案】D【解析】根据正方体的对角线是其外接球的直径,可得球的半径,进而可得球的表面积.【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体的外接球的直径222222223R,所以3R,所以该球的表面积244312SR.故选:D【点睛】本题考查了正方体与球的组合体,考查了正方体的对角线长定理,考查了球的表面积公式,属于基础题.15．ABC的内角A,B,C的对边分别为,,abc.已知4A,4b，且ABC的面积为2，则a（）第7页共11页A．23B．10C．22D．6【答案】B【解析】根据面积公式可求得2c,再根据余弦定理可求得10a.【详解】根据三角形的面积公式可得12sin2bcA,所以124sin24c,所以2c,由余弦定理可得22222cos162242102abcbcA,所以10a.故选:B【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.二、填空题16．设向量(1,3),(2,),abm，若//ba，则m_____【答案】6【解析】根据向量共线的坐标表示列方程可解得.【详解】因为//ba,所以13(2)0m,解得6m.故答案为:-6【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,本题属于基础题.17．设等比数列na的前n项和为nS，已知11a，23S，则3S_____【答案】7【解析】根据121,3aS列方程可解得公比q,再根据等比数列的前n项和公式可求得答案.【详解】第8页共11页设等比数列na的公比为q,则2aq,由2123Saa,得13q,所以2q=,所以3313(1)127112aqSq.故答案为:7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的基本量的计算,属于基础题.18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是____【答案】16【解析】利用组合知识求得基本事件种数和所求事件包含的事件种数后,利用古典概型的概率公式可得答案.【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有246C种抽法,所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有221C种抽法,根据古典概型的概率公式可得所求概率为16.故答案为:16【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,关键是求出积为奇数时的抽法种数,属于基础题.19．设椭圆的两个焦点分别为12,FF，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B两点，若1AFB为等边三角形，则该椭圆的离心率为____【答案】33【解析】利用三角形1AFB为等边三角形可得223||3AFc,143||3AFc,再根据椭圆的定义列式可得离心率.【详解】因为1AFB为等边三角形,所以126AFF,第9页共11页所以212323||||33AFFFc,1243||2||3AFAFc,又由椭圆的定义可知12||||2AFAFa,所以4323233cca,即3ca,所以离心率33cea.故答案为:33.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质:离心率,利用正三角形的性质求出1||AF和2||AF后,再用椭圆定义列等式是答题关键,属于基础题.三、解答题20．已知函数sin2fxx.(1)求函数fx的最小正周期和最大值；(2)若满足325f，求4f的值【答案】(1)fx的最小正周期是,最大值是1(2)725【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式2||T直接求出周期,根据正弦函数的最大值可求得函数的最大值;(2)利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得答案.【详解】解：(1)函数sin2fxx，则fx的最小正周期是22Tfx的最大值是1(2)由325f，得3sin5第10页共11页所以27sin(2)cos212sin4225f【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,正弦函数的最大值,诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.21．如图，直三棱柱111ABCABC中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是1,BCAB的中点.(1)证明：//DE平面11ACCA；(2)若11BB,证明：1CD平面ADE【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接11,ABAC,根据中位线可得1//DEAC,根据线面平行的判定定理可得//DE平面11ACCA;(2)根据直棱柱可得1BBAD,根据等边三角形可得BCAD,根据线面垂直的判定定理可得AD平面11BBCC,再根据性质定理可得1ADCD,根据勾股定理22211111DBCDBC可得11CDDB,最后根据线面垂直的判定定理可得1CD平面ADE.【详解】证明：(1)连接11,ABAC，如图所示:第11页共11页在直三棱柱111ABCABC中，侧面11ABBA是矩形，因为点E是1AB的中点，所以点E是1AB的中点又因为点D是BC的中点，所以1//DEAC,因为1AC平面11ACCA,DE平面11ACCA,所以//DE平面11ACCA(2)连接1BD，如图所示:在直三棱柱111ABCABC中，因为1BB平面ABC，AD平面ABC，所以1BBAD又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，