单调性-题型归类

名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰学生:学科:数学年级:班主任:教师:日期/时段:课题单调函数教学目标函数是高中数学中十分重要的内容，函数思想是解决数学问题的重要思想，是贯穿整个中学数学的一根主线，具有概念性极强，内容丰富，与其它知识联系广泛等特点，所以对于函数的四大性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性，同学们应当给予相当的重视。重难点透视复合函数单调性的判断要掌握“同增异减”的原则。知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况123教学内容1、单调函数的定义增函数减函数定义设函数)(xf的定义域为I，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx当21xx时，都有________,那么就说函数)(xf在区间D上是增函数当21xx时，都有________,那么就说函数)(xf在区间D上是减函数2、单调性、单调区间的定义若函数)(xfy在区间D上是__________或__________，则称函数)(xfy在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做)(xfy的单调区间。（1）、单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性。（2）、函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域（3）、函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数xy1分别在,0,0,内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即,00,内单调递减，只能分开名思教育个性化辅导教案ggggggggggggangganggang纲名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰写，即函数的单调减区间为,00,和，不能用“”。（4）、若)(xf与)(xg在定义域内均是增函数（减函数），那么)()(xgxf在公共定义域内为增函数（减函数）；若在公共定义域内)(xf为增函数，)(xg为减函数，那么函数)()(xgxf在公共定义域内为增函数；若在公共定义域内)(xf为减函数，)(xg为增函数，那么函数)()(xgxf在公共定义域内为减函数，（5）、复合函数单调性的判断要掌握“同增异减”的原则。题型归类题型一：单调性的判断及证明步骤：1、任取（在指定区间）2、作差变形（因式分解，配方、有理化、平方差立方差）3、定号得结论例1、设函数axxxf1)(2，证明当1a时，函数)(xf在区间),0上是减函数。分析：本题考查单调性的证明，我们应当遵循任取、作差变形、定号、得结论的步骤来进行证明。证明：任取,0,21xx，且21xx2221212111)()(axxaxxxfxf)(11212221xxaxx)(112122212221xxaxxxx)11)((22212121axxxxxx2221211,1xxxx111222121xxxx又21,1xxa)()(21xfxf)(xf在区间,0上为减函数.总结：此类题型的关键步骤在于作差变形，出现分式我们会用到通分，出现根式我们要考虑有理化，出现立方，我们应当联想到立方和以及立方差公式，此外还有因式分解也是我们常用的，大家在平时的练名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰习中应当多注重积累。而对于抽象函数，我们没有具体的函数解析式可以带入作差，这时候我们该怎么办呢？下面的例2给出了这样的题型。例2、已知)(xf对于任意实数yx,，满足2)()()(yxfyfxf，当0x时，2)(xf，判断)(xf在,上的单调性并证明。分析：对于抽象函数单调性的判断，我们通常采用定义法，我们可以将2x凑配成112xxx的形式，然后利用关系式展开即可。证明：任取),(,21xx，且21xx112121)()()(xxxfxfxfxf)(22)()()(121121xxfxfxxfxf2)(01212xxfxx)()(21xfxf，即)(xf在),(上为增函数.例3、已知)(xf的定义域为,0，当1x时，0)(xf，且)()()(yfxfyxf，证明)(xf在定义域上为增函数。证明：任取),0(,21xx，且21xx)()()()(112121xxxfxfxfxf)()()()(121121xxfxfxxfxf11221xxxx0)(12xxf)()(21xfxf，即)(xf在),0(上为增函数.总结：例2、例3为抽象函数，在判断或证明此类函数的单调性时，我们应当去将一个变量利用抽象函数表达式配凑成可以确定符号的几个解析式的做运算的形式。题型二：确定复合函数单调区间步骤：1、确定定义域2、分别求内外层函数单调性3、找分界点（内层单调分界点令内层函数=外层单调分界点）4、列表，根据同增异减得结论名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰例4、求函数)32(log221xxy的单调区间分析：该函数为函数uy21log和函数322xxu的复合，所以我们需要根据“同增异减”来确定函数的单调区间。解析：由0322xx得31x1210auy21log在)3,1(x上为减函数又4)1(3222xxxu在1,1x上为增函数，在3,1x上为减函数由“同增异减”得y在1,1x为减函数，在3,1x为增函数。例5、已知)2()(,28)(22xfxgxxxf，求函数)(xg的单调区间。分析：此题考查复合函数单调性问题，首先我们应当分别对内层函数22xu，和外层函数228uuy分别求单调区间，然后将中间变量u的取值范围转化为自变量x的取值范围，然后根据“同增异减”的结论。解：)(xg是由22xu和228uuy复合而成，22xu在0,x上是增函数，在,0x上是减函数；228uuy在1,u上是增函数，在,1u上是减函数；此时将中间变量u的范围转化为自变量x的范围，当1u时，即122x，解得1,1x当1u时，即122x，解得,11,x由复合函数单调性可得：x1,0,11,0,122xu↗↗↘↘228uuy↗↘↘↗)(xg↗↘↗↘)(xg在1,上是增函数，在0,1上是减函数，在1,0上是增函数，在,1上是减函数。总结：求单调区间一定要先求定义域名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰在求复合函数单调区间时，一定要统一自变量。题型三：已知单调性，求参数取值范围方法：（1）若)(xf为二次函数，我们从对称轴寻找突破口。（2）若)(xf为分式函数或者高次函数，我们可以从单调函数定义寻找突破口。例6、若2)1(2)(2xaxxf在4,上是减函数，那么a的取值范围是________.分析：)(xf为二次函数，所以在对称轴两侧单调性相反。解析：)(xf的对称轴为ax141a得3a例7、已知21)(xaxxf在区间,2上是增函数，求a的取值范围。分析：根据增函数定义，当212xx时，应当有0)()(21xfxf成立，列式求解即可。解：设212xx则)2)(2()12)(()()(212121xxaxxxfxf021xx，0)2)(2(21xx要使)(xf为增函数，即要求0)()(21xfxf成立要求012a，即21a.例8、已知0a，函数axxxf3)(在区间,1上的单调函数，求a的取值范围。分析：已知函数表达式以及单调性，所以我们可以根据单调性的定义得到axx,,21之间的关系，再确定a的取值范围。解：任取,1,21xx，且21xx)()()()(13123212axxaxxxfxf))((22212112axxxxxx211xx3222121xxxx又显然不存在a使得axxxx222121恒为负值，名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰必有一常数a使得axxxx222121恒为正，即axxxx222121恒成立，30a例9、设)()()(,)()(,1)(2xfxgxFxffxgxxf，问：是否存在实数使得)(xF在区间22,上为减函数，在区间)0,22(上为增函数。分析：对于这类是否存在的问题，我们通常可以假设它是存在的，然后再求解，看是否可以解出它，如果解出即是答案，若无解则表明不存在。解：假设存在这样的实数，则由1)(2xxf，)]([)(xffxg得1)1()(22xxg则2)2()()()(24xxxfxgxF令2xt，则2xt在0,上单调递减，且当22,x时，21t；当0,22x时，210t故要使)(xF在22,上单调递减，在0,22上单调递增，则需2)2()(2ttt在,21上单调递增，在21,0上单调递减，故2)2()(2ttt的对称轴2122t解得3题型四：根据单调性解不等式步骤：1、将不等式两端化为含有f的形式（如果是数字我们通常用赋值法得到）2、利用函数单调性，化“抽象表达式”为“具体表达式”求解。例10、设)(xf对任意的Rxx21,满足0)()()(2121xfxfxx，且)21()(afaf，求实数a的取值范围。分析：由0)()()(2121xfxfxx我们可以得到)(xf在R上为增函数，这是增函数的等价判别条件，大家应当熟悉这种写法。解析：)(xf在R上为增函数且有)21()(afaf名思教育-----我的成功不是偶然的海到无边天作岸，山高绝顶我为峰于是有不等式aa21成立，即31a例11、已知)(xf在定义域,0上为增函数，且1)2(f，)()()(yfxfyxf，求使2)3()(xfxf的x的取值范围。分析：本题我们应当利用)(xf的单调性，求解x取值范围，所以我们需要将不等式中的2表示成含有f的表达式，然后利用)(xf的单调性得到关于x的不等式。解：令2yx得2)2()2()4(fff原不等式等价于)4()3()(fxfxf)4()3(fxxf4341304)3(030xxxxxxxx4,3x总结：在解决此类问题时，切忌不要忘记求定义域，而且一定是“原始状态”下的定义域，所以最后的结果应该是一些不等式的解集求交集。题型五：单调性与最值例12、若函数21321)(2xxf在区间ba,上的最小值为a2，最大值为b2，求ba,.分析：因为区间为ba,，所以我们应当考虑区间ba,与二次函数21321)(2xxf对称轴0x的位置关系，从而讨论在每一种情况下，x取什么值从而得到最大最小值。解：（ⅰ）若ba0，则)(xf在ba,上单调递减，则3,1,3121321221321222bababaab（ⅱ）若ba0，则)(xf在0,a上单调递增，在b,0上单调递减，bf2)0(413,2132bb由于0a，又0323