分段函数与映射课件

第2课时分段函数及映射1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射的概念.1.分段函数求值．(重点)2.对映射概念的理解．(难点)1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.解析：设t＝2x＋1，则x＝t－12，∴f(t)＝t－122＋1.从而f(x)＝x－122＋1.答案：x－122＋12．作出下列函数的图象．(1)y＝x，|x|≤1；(2)y＝1－x，x∈Z且|x|≤2；(3)y＝x2－xx－1.解析：(1)此函数图象是直线y＝x的一部分．(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上．(这样的点叫做整点)(3)先求定义域，在定义域上化简函数式y＝x2－xx－1＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_________，则称这样的函数为分段函数．2．映射设A、B是两个_____的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应，那么就称对应_______为从集合A到集合B的一个映射．对应关系非空任意一个唯一确定f：A→B1．已知函数f(x)＝x＋1x≤1－x＋3x＞1，则f52＝()A．－12B.12C.52D.92答案：B2．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是()解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．故选C.答案：C3．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是________．解析：∵f(x)的图象是由两条线段组成，∴由一次函数解析式求法可得f(x)＝x＋1－x－1≤x＜0，0≤x≤1.答案：f(x)＝x＋1－xx∈[－1，0x∈[0，1]4．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝3x＋5，x≤0，x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.(1)求f32，f1π，f(－1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值．解析：(1)∵32＞1，∴f32＝－2×32＋8＝5.∵0＜1π＜1，∴f(1π)＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.(2)如图所示．在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值为6.分段函数及应用已知函数f(x)＝x＋2x≤－3x2－3＜x＜32xx≥3，求(1)f(－5)，(2)f(－3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4)))的值．[解题过程](1)∵－5＜－3∴f(－5)＝－5＋2＝－3(2)∵－3＜－3＜3∴f(－3)＝(－3)2＝3(3)f(3)＝2×3＝6(4)∵－4＜－3，∴f(－4)＝－4＋2＝－2；又∵－3＜－2＜3，∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4；又∵4＞3，∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.[题后感悟](1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．1.已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2＜x＜2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值；(3)若f(m)＞m，求实数m的取值范围．解析：(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，－2＜－32＜2，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去．②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.(3)f(m)＞m⇔m≤－2m＋1＞m或－2＜m＜2m2＋2m＞m或m≥22m－1＞m⇔m≤－2或－2＜m＜2m＜－1或m＞0或m≥2m＞1⇔m≤－2或－2＜m＜－1或0＜m＜2或m≥2⇔m＜－1或m＞0.∴所求m的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．分段函数的图象已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2x≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx的值域[规范作答](1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－x2＝1，2分当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋－x－x2＝1－x.4分∴f(x)＝10≤x≤21－x－2＜x＜06分(2)函数f(x)的图象如图所示，10分(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).12分[题后感悟](1)如何去掉函数解析式中的绝对值符号？采用零点分段法：①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出对应的x值，设为x1，x2；②把求出的x值标在x轴上，如图．③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．2.已知f(x)＝x2－1≤x≤11x＞1或x＜－1(1)画出f(x)的图象；(2)求函数f(x)的定义域和值域．解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．映射的概念及运用如下图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A．3B．4C．5D．6从映射定义出发，观察A中任一元素在B中是否都有唯一元素与之对应.序号是否为映射原因①是满足取元任意性、对应元素唯一性.②是满足取元任意性、对应元素唯一性.③是满足取元任意性、对应元素唯一性.[解题过程]④不是是一对多，不满足对应元素唯一性.⑤不是是一对多，不满足对应元素唯一性.⑥不是a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.答案：A[题后感悟]判断一个对应是否为映射的关键是什么？①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应；②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一．[注意]①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．②想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．3.下列对应是从A到B的映射的是()A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝xC．A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2解析：A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D.答案：D4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：图①，图②符合映射定义，图③集合M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．答案：C1．正确认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．正确理解映射概念(1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的．(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形式．◎下列命题：(1)函数是定义域到值域的映射；(2)f(x)＝x－3＋2－x是函数的解析式；(3)函数y＝3x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数f(x)＝x与g(x)＝x2是同一函数．其中正确命题的序号是________．【错解】(1)、(2)、(3)、(4)【错因】第(2)个命题忽视了定义域，因为y＝x－3＋2－x的定义域为∅，所以它不是解析式；第(3)个命题中的函数的定义域为N，其图象由点构成；第(4)个命题，由于g(x)＝x2＝|x|，所以两函数的对应法则不同，不是同一函数．【正解】(1)练规范、练技能、练速度感谢聆听！THANKYOUFORWATCHING!放映结束欢迎批评指导！！演示结束！！欢迎提出宝贵意见！！