微分中值定理及其应用

二、内容与要求1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，知道泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.3.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.4.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.重点罗尔定理、拉格朗日中值定理、用洛必达法则求未定式极限.难点罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理三、概念、定理的理解与典型错误分析定义3.1若存在x0的某邻域，使得对一切，都有则称为极大值（极小值），称x0为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。定理3.1(费马（Femat）定理)（取到极值的必要条件）设f(x)在点x0处取到极值，且存在，则反之不真，例如但f(0)不是极值。费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x)，使证明F（x）在某点x0处取到极值且存在，由费马定理知即定理3.2(罗尔（Rolle）定理)设f(x)在闭区间[a,b]上满足下列三个条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)在开区间（a,b）内可导；（3）则至少存在一点使推论在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在（a,b）内必有一点，使即方程f(x)=0的两个不同实根之间，必存在方程f'(x)=0的一个根。罗尔定理的应用：1证明f(x)=0有一个根，找到一个F（x）,使，验证F（x）在某闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件，则至少存在一点。2证明适合某种条件的存在性：把待证含有的等式，通过分析转化为形式，对F(x)应用罗尔定理即可。定理3.3(拉格朗日（Lanrange）定理)若f(x)在闭区间[a,b]上满足下列二个条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续;（2）f(x)在开区间（a,b）内可导，则至少存在一点拉格朗日定理的结论常写成下列形式：上式中当ab时公式仍然成立，即不论a,b之间关系如何，总介于a,b之间，由所以拉格朗日定理是连结函数值与导函数值之间的一座桥梁，特别适合给出导数条件，要证明函数值关系的有关结论，就需要用到拉格朗日定理，拉格朗日定理主要应用是证明不等式.定理3.4(单调性定理)设f(x)在区间X(X可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半闭半开区间，也可以无穷区间)上连续，在X内部可导（不需要在端点可导），（1）若内部，则f(x)在区间X上递增。（2）若内部，则f(x)在区间X上递减。（3）若内部，则f(x)在区间X上是常值函数。若（1）中，则f(x)在区间X上严格递增，若（2）中，则f(x)在区间X上严格递减。推论若f(x)在区间X上连续，在区间X内部可导，当内部，且f(x)在X的任何于区间上，则f(x)在区间X上严格递增（减）。证由，知f(x)在区间X上递增，假设f(x)在X上不是严格递增，即存在上递增，所以任给，有从而所以与条件矛盾，故f(x)在区间X上严格递增，对于，同理可证f(x)在X上严格递减。单调性定理及推论是证明函数在某区间上（严格）单调或是常值函数和求函数（严格）单调区间的重要方法。定理3.5(柯西（Cauchy）定理)设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上满足下列条件：（1）f(x),g(x)在[a,b]上连续（2）f(x),g(x)在(a,b)内可导（3），则至少存在一点使证明与拉格朗日证明类似，只要把拉格朗日定理证明过程中b换成g(b)，a换成g(a)，x换成g(x)即可，读者可自证。典型错误:对f(x),g(x)在[a,b]上分别应用拉格朗日定理有。实际上分子、分母中的两个是不一样。柯西定理也可以用来证明不等式及适合某种条件的存在性，但没有拉格朗日定理和罗尔定理用得多。定理3.6(泰勒（Taylor）定理)设f(x)在区间X上存在n+1阶导数，对每一个任给，有其中是介于x0及x之间称为拉格朗日余项,当x0=0时，称为麦克劳林公式，即称为麦克劳林余项。定理3.7(佩亚诺（Peano）定理)若f(x)在点x0处存在n阶导数，则称为泰勒公式的佩亚诺余项.相应的麦克劳林公式为读者要记住5个常用函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式带有拉格朗日余项的泰勒公式可用以证明方程根的存在性、适合某种条件的存在性及各种不等式。带有佩亚诺余项的泰勒公式仅适用于求函数极限。定理3.8(洛必达法则I)设（1）；（2）存在的某邻域，当时，都存在，且；（3），则.定理3.9(洛必达法则II)，设（1）；（2）存在的某邻域，当时，都存在且；（3），则.1．上述两个法则中的改成时，条件（2）只须作相应的修改，结论依然成立。2．在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。3．利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。例1若在点可导，则是否在的某邻域内可导或连续或极限存在.答否.例由,知在处可导.当时，但,知在处极限不存在，从而也不连续，更不可导.故在处可导，但在的任何邻域里除外均不可导，不连续，极限也不存在，因此，我们在解题时，不能根据自己的感觉来得到结论，一定要根据定理、推论、性质、公式来得到所需的结果.例2若在点可导，则在的某邻域内有界吗？答是.由在点点可导，则在处必连续，利用连续的局部有界性知，存在，使在内有界.例3若在区间I上是单调函数且可导，那么在区间I上是单调函数吗？答否.例如：，由，知在（）上严格递增，但在上小于0，在（）上大于0，故在（）不是单调函数.例4如果可导数与当时，有，那么当时，必有，这种说法正确吗？答不正确.虽然函数的增长率比函数在同一点处的增长率大，但如果在处的初始值比在处的初始值小，就不能保证对任意的，都有.例如函数，，我们有当时，.但是当时，有，当时，有；当时，才有（图8-1）。因此，利用导数的大小比较两个函数值的大小时，必须考虑起点处的两个函数值的大小.上述问题如果加上初始相等：这一条件，那么结论一定正确,请读者自证.例5设函数在包含点的开区间内可导，如果，由此可以断定在点的某邻域内单调增吗？答不可以.例如函数根据导数的定义，有而当时，有.在处，有但在处，却有当时，，因此在点的任何邻域内，的取值有正有负，从而在的任何邻域内都不是单调的，如果不然，不妨假定在点的一邻域内单调增，那么对充分小的，使仍属于该邻域，则有，于是.这与相矛盾.例6如果函数在处有极大值，能否肯定存在点的邻域，使在左邻域内单调增加，而在右邻域内单调减少？答不能肯定.我们知道，如果函数在的某邻域内连续，且在的左邻域单调增加，而在的右邻域单调减少，则在处一定有极大值，但是，这个结论反过来是不一定成立的.例如，函数显然，是极大值，是极大值点.容易算出取为自然数），当充分大量，与都可进入的充分小邻域内，而由此可见，在点的右邻域内，无论多么小，总有这样的点与，使与.因而函数不是单调的.同样，在点的左邻域内也是如此，其理由参阅问题例5最后一段.例7最大（小）值一定是极大（小）值吗？反之极大（小）值一定是最大（小）值吗？答不一定是.极大（小）值的定义是存在，当时，都有，极值的必要条件是在的两侧要有定义例如图8-2所示为最小值，为最大值，但不是极小值，因为在的左侧没定义，也不是极大值，同样是因为在的右侧没定义.从图中还可以看出，为极大值但不是最大值，为极小值但不是最小值，因此，一般情形下，最大（小）值与极大（小）值没有关系，但若最大（小）值在区间内部取到，则一定为极大（小）值，故区间内部的极值点是最大（小）值的怀凝点.例8.求.典型错误点评已不是“”型，此时不能用洛必达法则。解原式例9.求典型错误点评分子、分母都是的数列，关于不连续，更不可导，故不能利用洛必达法则。解方法一方法二例10.典型错误点评实际上不是未定式，由，因此.例11.设存在且求典型错误由而知由在处二阶可导，知在处连续，有因此由知又在处连续，有，于是得点评答案是正确的，但对用洛必达法则是错误的，因为从条件存在，推不出在0的某空心邻域内可导，不符合洛必达法则的第二条，且在不知是否连续，不能用.解故例12.求.典型错误1分析这里用了分次取极限是不正确的，因为当时，，而不可能出现，典型错误2点评我们知道1的任何数次幂为1中的数是指的数，而不是一个数，而是无穷大，因此，不能偷梁换柱，解方法一方法二例13.典型错误由时，知点评尽管结论正确，但解法错误，因为不是“”型，时，，解因此，使用洛必达法则之前，必须验证条件是否适合，否则可能导致错误，甚至会出现结论正确、过程不合理的情形.还要注意到洛必达法则的条件是充分条件，即满足条件结论一定成立，不满足条件结论可能成立也可能不成立，因此，我们就不能随便用.例14.求典型错误点评是“”，而中分子、分母的极限都不存在，已不属于“”或“”型，不能再用洛必达法则。解四、解题方法与题例1．证明方程根的存在性把要证明的方程转化为f(x)=0的形式。对方程f(x)=0用下述方法：(1)根的存在定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且则至少存在一点，使(2)若函数f(x)的原函数在[a,b]上满足罗尔定理的条件，则f(x)在（a,b）内至少有一个零值点.(3)若函数f(x)的原函数F(x)在某点x0处取极值，在x0处导数也存在，由费马定理知F'(x0)=0，即f(x0)=0。(4)实常系数的一元n次方程，当n为奇数时，至少有一个实根。证设由不妨设a00。由于当xN0时，都有f(x)10。取bN0，有f(b)0，，当x-N1时，都有f(x)-10。取a-N1(5)实系数的一元n次方程在复数范围内有n个复数根，至多有n个不同的实数根。(6)若f(x)在区间X上连续且严格单调，则f(x)在X内至多有一个零值点。若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则f(x)无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则f(x)有一个零值点。(7)求具体连续函数f(x)在其定义域内零值点的个数：首先求出f(x)的严格单调区间的个数，若有m个严格单调区间，则至多有m个不同的零值点。至于具体有几个，按照6研究每个严格单调区间是否有一个零值点。(8)用泰勒公式证明方程根的存在性.(9)在证明方程根的存在性的过程中，我们经常要用拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程根的存在性所需的条件，然后利用上述的方法来证明方程根的存在性。例1设f(x)在上连续，在内可导，（k为常数），f(a)0，证明至少存在一点。证。在[a,x]上对f(x)应用拉格朗日中值定理得要使f(x)0，只要，只要取有f(b)0，又f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，由根的存在定理知至少存在一点例2设f(x)在[0，1]上可微，，0f（x）=x。证令，由F(x)在[0，1]上连续，，由根的存在定理知，至少存在一点下面证唯一性。假设存在知，对F（x）在上应用罗尔定理知，至少存在一点由，得即与相矛盾，故在（0，1）内有且仅有一个x，使f(x)=x。例3.设为任意的实常数，证明在内必有一个零点。分析由于,无法确定f(0)的符号，因此不能用根的存在定理，改用罗尔定理，关键是找的一个原函数，由于是具体的表达式，用求不定积分的方法可找到的一个原函数。证令且由在上连续,在内可导,由罗尔定理知至少存在一点使即注：巧妙地利用在特殊角的三角函数值相等这一条件,验证符合罗尔定理的条件.例4.设在上n次可导,证明至少存在一点使.证法一将在处展成泰勒公式有其中把代入上式得取得其中由两边同除以得.证法二由在上满足罗尔定理条件,则至少存在一点使由在上满足罗尔定理条件,则至少存在一点使如此下去,在上满足罗尔定理条件,则至少存在一点使例5.设a,b为常数,若在(a,b)内连续,(常数)(常数)且证明至少存在一点使.证令由在[a,b]上连续,中根的