陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题理

陕西省咸阳市三原县南郊中学2020届高三数学上学期摸底考试试题理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合|lg21Axx，集合2|230Bxxx，则ABU（）A．2,12B．1,3C．1,12D．2,32．设2i3i35ixy（i为虚数单位），其中x，y是实数，则ixy等于（）A．5B．13C．22D．23．设,abrr是非零向量，“=||||ababrrrr”是“abrrP”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.定积分12)0xxedx（的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－15．在等差数列na中，51340aa，则8910aaa（）A．72B．60C．48D．366．已知2log0.2a，0.22b，0.30.2c，则（）A．abcB．bcaC．cabD．acb7．下列说法错误的是（）A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直8．设0a，0b，若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A．2B．83C．3D．49．2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（）A．144种B．24种C．12种D．6种10．已知命题2:233pxxa恒成立，命题:21xqya为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（）A．1223aB．102aC．121aD．23a£11．设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当(0,1]x时，()(1)fxxx．若对任意(,)xm，都有()1fx，则m的取值范围是（）A．9,4B．8,3C．7,3D．5,212．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第64行从左到右的第2个数字是（）A．2016B．2017C．2018D．2019二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）13．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是______．14．过点（1，0）且与直线220xy垂直的直线方程为______15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”这段文字写成公式，即222222241bacacS．△ABC满足)sin(sin)sin(sinBABACCA2sinsinsin，且222BCAB，则用以上给出的公式可求得△ABC的面积为．16.已知函数,(0()2,(0)xeaxfxxax），若函数()fx在R上有两个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC,3PC，2ACB，,DE分别为线段,ABBC上的点，且2CDDE，22CEEB．（1）证明：ED平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值．19．（本小题满分12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”．为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名．（1）求频数分布表中x，y的值；分组频数（单位：名）使用“余额宝”x使用“财富通”y使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200PEDCBA（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%，“财富通”的平均年化收益率为4.2%．若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X，求X的分布列及数学期望．注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息．20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3xtyt（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为4cos．（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C相交于AB、两点，求OAB△的面积．23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知()11fxxaxa．（1）当1a时，求不等式()3fx的解集；（2）若1x时，不等式()2fxx恒成立，求a的取值范围．数学（理）参考答案CAACBDBDDAD.C13．514.220xy15.316.(0,1]17解析(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32………………………2分＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x…………………….3分＝34sin2x－14cos2x……………………………………….4分＝12sin2x－π6………………………………………..5分所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π………………….6分(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，………..8分且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，………………………………………..10分所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12…………………………..12分18.（1）证明：因为PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE.…………1分由2,2CECDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE．………………2分又PCCDC，且PC面PCD，CD面PCD，……3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）故DE平面PCD．……………4分（2）解：如图所示，过点D作DF垂直CE于F，易知1DFFCFE，又1EB，故2FB．由2ACB，得//DFAC，23DFFBACBC，故3322ACDF．………………………………5分以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向分别为x轴，yFyzxPEDCBAPEDCBA轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Cxyz，……………………………6分(0,0,0)C，(0,0,3)P，3(,0,0)2A，(0,2,0)E，(1,1,0)D，1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2EDDPDA………………………………7分设平面PAD的法向量为1111,,nxyz，则10nDP，即1111130102xyzxy，……………………………………8分令12x，则111,1yz，故可取1(2,1,1)n．…………9分（注：与1n共线的非零向量都可给分）由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量2n可取为ED，即2=(1,1,0)n……………………………………………………………….10分则12121213cos,626||nnnnnn，………….11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）又二面角APDC为锐二面角，所以二面角APDC的余弦值为36．………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分）19【解析】（1）据题意，得160120080xyxy，所以640480xy………………….4分（2）据640:4804:3，得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人．10000元使用“余额宝”的利息为100002.8%280（元）．10000元使用“财富通”的利息为100004.2%420（元）．X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）．2043272(560)7CCPXC，1143274(700)7CCCPX，2034271(840)7CCCPX．X的分布列为X560700840P274717所以241560700840680777EX（元）．…………………………12分20解析（1）当时，1()lnfxxx所以211'()fxxx．所以(1)1f，，所以切线方程为230xy．……………………..4分(2)f′(x)＝x＋ax2，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝32，所以a＝－32(舍去)．②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，所以a＝－e2(舍去)．③若－ea－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1x－a时，f′(x)0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减，当－axe时，f′(x)0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－e，综上a＝－e………………..12分21【解析】（1）抛物线的焦点坐标为1,0，12p，即抛物线的方程为．……………………………………………….4分（2）证明：①当直线的斜率不存在时，即，可得直线与抛物线交点坐标为，42421882OAOBkk；②当直线的斜率存在