黑龙江省大庆第一中学2019届高三第二次模拟考试数学理试题Word版含解析

2019年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】可解出集合，然后进行并集的运算即可．【详解】，故选：【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及并集的运算，属于简单题目.2.已知，其中为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出，求出的模即可．【详解】，故，故选：【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3.设为正数，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式即可求出．【详解】设为正数，且，当且仅当时取等号，故选：【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．4.已知数列是等差数列，．则使的的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，再由等差数列的求和公式，由此能求出使前项和成立的最小自然数的值.【详解】因为等差数列，首项，，所以，由，可得，，所以使前项和成立的最小自然数的值为16，故选D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于简单题目.5.已知函数是奇函数，则实数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义得恒成立．【详解】依题意：恒成立，即即，，解得故选：【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．6.设是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得a＝2，再由双曲线的定义可得得到，再根据两点的位置特征得到答案．【详解】如图，根据双曲线的标准方程，得，由双曲线的定义可得：可得：过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，当是双曲线的通经时最小．解得，则故选：【点睛】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题．7.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【详解】由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，故由得故此数列的项数为：．故选：【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基本知识的考查．8.执行下面框图对应的程序，输出的，则判断框内应填入的条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及的关系．最终得出选项.【详解】经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值由于，由题意，，解得：，即当时，满足判断框内的条件，退出循环，输出可得判断框内应填入的条件是故选：【点睛】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．题属于基础题.9.已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法错误的是（）A.函数的图象关于y轴对称B.函数的极小值为C.函数在上为增函数D.函数的值域为【答案】C【解析】【分析】对于A项，利用偶函数的定义可判断其为偶函数，从而得到其正确性；对于B项，利用导数研究其单调性，从而求得其最值，得到其正确性，同时可以得出C是错误的，对于D项，可以利用二次函数的最值来判断，从而求得结果.【详解】根据题意，依次分析选项：对于，则，函数为偶函数，其图象关于轴对称，正确；对于其导数，若解可得且当当时，则函数的极小值为正确；对于，有的结论，错误；对于，函数其值域为正确；故选：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题．10.在三棱锥中，已知，若四点均在球的球面上，且恰为球的直径，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】推导出取中点，连结则从而，进而到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积．【详解】在三棱锥中，四点均在球的球面上，且恰为球的直径，取中点，连结，则，，到平面的距离三棱锥的体积：故选：【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.已知是函数的两个极值点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求导函数，利用的两个极值点分别是，建立不等式，利用平面区域，即可求的取值范围．【详解】由题意，的两个极值点分别是，对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为，则在处，取得最大值，此时，的最小值为点（0，4）到直线距离的平方，但是边界值都取不到，的取值范围是.故选：【点睛】本题考查导数知识的运用，求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由圆的切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为又由点是椭圆的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．二、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，且，则实数_____．【答案】1【解析】【分析】可求出根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【详解】；故答案为：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.已知直线与圆相切于点，则直线的方程为_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，又由直线与圆相于点则在直线上且与直线垂直，据此可得且解可得值，代入直线的方程即可得答案．【详解】根据题意，圆即其圆心直线与圆相切于点则在直线上且与直线垂直，，则有，则有，又由在直线上，则有解可得则直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．15.在正项等比数列中则_____．【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件得到关于的二元方程组，求解后由得到的值，即可求出公比，可得答案【详解】数列是正项等比数列，且联立得或，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．16.用表示三个数中的最大值，则函数在上的最小值为_____．【答案】1【解析】【分析】分别画出的图象，分别求出最小值，比较即可．【详解】分别画出的图象，如图所示，由图可知，三条曲线相交于点（2,1），与相交于（2,1）和（4,2）两点，且当时，在上方，当时，在上方，所以有：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察和函数最值是关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.在中，已知角所对的边分别为且满足（1）求角；（2）若，试判断的形状．【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】【分析】（1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得，再由解出，可得；（2）由已知及余弦定理可得：结合已知等式可求可得利用勾股定理即可判断三角形的形状．【详解】由正弦定理，∴代入上式，得即得得．结合为三角形的内角，可得；又，由余弦定理可得：可得：可得：可得为直角三角形．【点睛】本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题．18.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．（1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接，取的中点，连接可证平面故而论成立；（2）设建立坐标系，利用向量求出到平面的距离，解方程得出的值，得出结论．【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接分别是的中点分别是的中点，又平面，分别是的中点，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面为二面角的平面角，即以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设则，，．设平面的法向量为，则，，令可得，到平面的距离，解得．，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．且．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知抛物线的焦点为，直线与相交于两点．（1）记直线的斜率分别为，求证：；（2）若抛物线上异于的一点到的准线的距离为，且，问：直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先设出点，联立抛物线和直线方程得方程组，化简消元得，由韦达定理可得，之后将分别用和来表示，代入整理证得结果；（2）利用题的条件，结合抛物线的定义，求得，从而求得抛物线的方程，结合第一问的结果，可得通过直角得垂直，由向量数量积等于零来体现，最后求得或进而求得直线过的定点.【详解】（1）：设，由，消可得可得，即（2）抛物线上异于的一点到的准线的距离为，，设由（1）可得，即即或当时，，即，此时过点，与点重合，不合题意，当时即，此时过点综上所述直线过定点【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．表：甲流水线样本频数分布表（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．参考公式：其中临界值表供参考：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分布直方图．（2）根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．【详解】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图知，甲样本中合格品数为，合格品的频率为，乙样本中合格品数为合格品的频率为据此可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率分别为（3）列联表如下甲流水线乙流水线合计合格品