2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学理试题

页1第2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}Axx，{1,3,6}B，{6}M，则M（）A．ABB．ABC．()ABRðD．()ABRð2．若复数z满足(1)(i1)iz，则2z（）A．43i2B．43i2C．34i2D．34i23．设nS是等差数列{}na的前n项和，33a，714S，则公差d（）A．12B．12C．1D．14．已知1525a，256b，652c，则（）A．abcB．bacC．cbaD．acb5．函数22log(1)()xfxx的图象大致是（）A．yx1O-1B．yx1O-1此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号页2第C．yx1O-1D．yx1O-16．设x，y满足约束条件2632xyxyy，则yzx的最大值是（）A．1B．0C．12D．27．在ABC△中，23BDBC，E为AD的中点，则CE（）A．1263ABACB．2136ABACC．1536ABACD．5163ABAC8．若存在π[0,]2x，使2π23cossin(2)03xxm成立，则m的取值范围为（）A．3(,)2B．(,13)C．3(,)2D．(13,)9．在直角坐标系xOy中，F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）A．22B．12C．13D．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．1122π3B．4411π3C．4411πD．1122π11．已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，1F，2F分别是双曲线的左、右焦点，页3第点(,0)Ma，(0,)Nb，点P为线段MN上的动点，当12PFPF取得最小值和最大值时，12PFF△的面积分别为1S，2S，则21SS（）A．4B．8C．23D．4312．设函数()fx在定义域(0,)上是单调函数，且(0,)x，(())xffxexe．若不等式()()fxfxax对(0,)x恒成立，则a的取值范围是（）A．(,2]eB．(,1]eC．(,23]eD．(,21]e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()cosπxfxx，则4π()3f．14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)xxaaxaxax，则210012100222aaa．15．已知函数()ln(||1)cos2fxxax只有一个零点，则a．16．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，且PAD△为等边三角形，若四棱锥PABCD的体积与四棱锥PABCD外接球的表面积大小之比为37π，则四棱锥PABCD的表面积为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知26sincossin2AaBbA．（1）求cosA；（2）若21a，5bc，求ABC△的面积．页4第18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4．（1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?页5第19．（12分）如图，在四面体ABCD中，ADAB，平面ABD平面ABC，22ABBCAC，且4ADBC．（1）证明：BC平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值．EBACD页6第20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点1(3,)2，且它的焦距是短轴长的3倍．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为1k，2k，问是否存在非零常数，使12kk时，AOB△的面积S为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln()xxafxe．（1）当1a时，求()fx的极值；（2）设()xgxxea，对任意12,(0,)xx都有11112()()xxefxaxgx成立，求实数a的取值范围．页7第请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2431xtayt（t为参数），圆C的参数方程为21||cos2sinxaya（为参数）．（1）求l和C的普通方程；（2）将l向左平移(0)mm后，得到直线l，若圆C上只有一个点到l的距离为1，求m．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|||4|(0)fxxaxa．（1）当1a时，求不等式()fxx的解集；（2）若4()1fxa恒成立，求a的取值范围．2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】11614．【答案】015．【答案】216．【答案】837三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）23；（2）5．【解析】（1）∵26sincossin2AaBbA，∴26cos2Aabba，∴21cos26A，故22cos2cos123AA．（2）∵2222cosabcbcA，又21a，5bc，∴24221()22533bcbcbcbc，∴6bc．由（1）可知5sin3A，从而ABC△的面积1sin52SbcA．18．【答案】（1）0.76；（2）选择方案①更划算．【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为0.40.60.24，所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为10.240.76．（2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为X元，则184X或188．X的分布列为X184188P0.60.4则1840.61880.4185.6EX．若选择方案②，则购买总价的数字期望为185.6650120640元．若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200600120000元．因为120640120000，所以选择方案①更划算．19．【答案】（1）证明见解析；（2）306．【解析】（1）因为ADAB，平面ABD平面ABC，平面ABD平面ABCAB，AD平面ABD，所以AD平面ABC．因为BC平面ABC，所以ADBC．因为22ABBCAC，所以222ABBCAC，所以ABBC．因为ADABA，所以BC平面ABD．（2）设(04)ADxx，则4ABBCx，四面体ABCD的体积232111()(4)(816)(04)326Vfxxxxxxx．211()(31616)(4)(34)66fxxxxx，当403x时，()0fx，()Vfx单调递增；当443x时，()0fx，()Vfx单调递减，故当43ADx时，四面体ABCD的体积取得最大值．以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz，则(0,0,0)B，8(0,,0)3A，8(,0,0)3C，84(0,,)33D，44(,,0)33E．设平面BCD的法向量为(,,)xyzn，则00BCBDnn，即80384033xyz，令2z，得(0,1,2)n．同理可得平面BDE的一个法向量为(1,1,2)m，则530cos,656mn．由图可知，二面角CBDE为锐角，故二面角CBDE的余弦值为306．zxyEBACD20．【答案】（1）2214xy；（2）存在，14，1AOBS△．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)xyCabab过点1(3,)2，所以223114ab，又因为该椭圆的焦距是短轴长的3倍，所以3cb，从而22224abcb．联立方程组222231144abab，解得2241ab，所以椭圆C的方程为2214xy．（2）设存在这样的常数，使12kk，AOB△的面积S为定值．设直线AB的方程为ykxm，点11(,)Axy，点22(,)Bxy，则由12kk知12120yyxx，1212()()0kxmkxmxx，所以221212()()0kxxkmxxm①．联立方程组2214xyykxm，消去y得222(14)8440kxkmxm．所以122814kmxxk②，21224414mxxk③，又点O到直线AB的距离2||1mdk，则AOB△的面积2241222(41)1||||||2241kmmmSABdxxk④．将②③代入①得222222()(44)8(14)0kmkmmk，化简得224()14km⑤，将⑤代入④得22224222222422(41)4()(14)16()64(644)41()2(14)(41)1681(14)Skkkkkkkk，要使上式为定值，只需26464441681，即需2(41)0，从而14，此时21()24S，1S，所以存在这样的常数14，此时1AOBS△．21．【答案】（1）()fx的极大值为1(1)fe，无极小值；（2）2(,)e．【解析】（1）当1a时，ln1()xxfxe，所以函数()fx的定义域为(0,)，所以1ln()xxxxfxxe，且0xxe，令()1lnhxxxx，所以当01x时，10x，ln0xx，所以()1ln0hxxxx．又()2lnhxx，所以当1x时，()2ln0hxx，所