高考数学知识点总结精华

（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；②空集是任何集合的子集，记为A；③空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么A=B.如果CACBBA，那么，.[注]：①Z={整数}（√）Z={全体整数}（×）②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=N，则CsA={0}）③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：1323yxyx解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是.（例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=）4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：①若325baba或，则应是真命题.解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.②，且21yx3yx.解：逆否：x+y=3x=1或y=2.21yx且3yx,故3yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若255xxx或，.4.集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}ABxxAxBABxxAxBAxUxAU交：且并：或补：且C5.主要性质和运算律（1）包含关系：,,,,,;,;,.UAAAAUAUABBCACABAABBABAABBC（2）等价关系：UABABAABBABUC（3）集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA结合律:)()();()(CBACBACBACBA分配律:.)()()();()()(CABACBACABACBA0-1律：,,,AAAUAAUAU等幂律：.,AAAAAA求补律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()cardABcardAcardBcardABcardABCcardAcardBcardCcardABcardBCcardCAcardABC(3)card(UA)=card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.+-+-x1x2x3xm-3xm-2xm-1xmx（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110aaxaxaxannnn的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式axb解的讨论；②一元二次不等式ax2+box0(a0)解的讨论.000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf≥0(或)()(xgxf≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：cbax,与)0(ccbax型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数))((Axxfy的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数))((Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy（二）函数的性质⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,⑴若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；⑵若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(xf为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）)()(xfxf或)()(xfxf是定义域上的恒等式。2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反.4．如果)(xf是偶函数，则|)(|)(xfxf，反之亦成立。若奇函数在0x时有意义，则0)0(f。7.奇函数，偶函数：⑴偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1,1[上不是偶函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.⑵奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1,1[上不是奇函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.8.对称变换：①y=f（x））（轴对称xfyy②y=f（x））（轴对称xfyx③y=f（x））（原点对称xfy9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）=1+xx1的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是.解：)(xf的值域是))((xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而A1|xx，故AB.11.常用变换：①)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf.证：)()(])[()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf②)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12.⑴熟悉常用函数图象：22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB▲xy例：||2xy→||x关于y轴对称.|2|21xy→||21xy→|2|21xy▲xy▲xy(0,1)▲xy(-2,1)|122|2xxy→||y关于x轴对称.⑵熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域},3|{Rxxx，值域},2|{Ryyy→值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数)10(aaayx且的图象和性质a10a1图象4.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=14.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=1(1)定义域：R▲xy23性质（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x0时，y1;x0时，0y1(4)x0时，0y1;x0时，y1.（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数对数函数y=logax的图象和性质:对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog...loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）a10a1注⑴：当0,ba时，)log()log()log(baba.⑵：当0M时，取“+”，当n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“—”.例如：xxxaaalog2(log2log2中x＞0而2logxa中x∈R）.⑵xay（1,0aa）与xyalog互为反函数.当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当10a时，则相反.图象y=logaxOyxa1a1x=1性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0（4）)1,0(x时0y),1(x时y0)1,0(x时0y),1(x时0y（5）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数（四）方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑴对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog...loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）注⑴：当0,ba时，)log()log()log(baba.⑵：当0M时，取“+”，