原创§-函数的周期性

函数总述三求一画反复讨论基本函数一十有二注①.三求：注③.反复讨论：注②.一画：注④.基本函数一十有二：函数的三要素：①定义域②解析式③值域①反函数②复合函数③讨论性质1°常值函数；2°正比函数；3°反比函数4°对号函数；5°一次函数；6°二次函数7°三次函数；8°幂函数；9°指数函数10°对数函数；11°三角函数；12°绝对值函数函数的图象1°单调性；2°奇偶性；3°周期性；4°凸凹性5°渐近性；6°有界性；7°连续性……背诵法①使式子有意义的x反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：2.定义域的求法：形法：数法三反两同两公式定义域具有对称性内函数的值域是外函数的定义域左右看定义域；上下看值域②实际问题对x的限制有图就有一切1.“定义域优先”是原则，是习惯：注：抽象函数的定义域：函数像个框什么都能装大小要刚好内值外定义2.作图、识图与用图密不可分：1.有图就有一切：利用图象解题获取图中信息①作图是基础：基本函数要熟知两域五性反导数上大下小中为根极值最值不动点数形结合思想是个很大的数学思想根据条件作图②识图是关键：③用图是目的：用图靠自觉好图是关键描点变换性质法作图的方法描点法变换法双重变换法多重变换法复式变换法单式变换法①平移④翻折②伸缩③对称⑤旋转作图基础描点法以点代线是小作和谐函数五点法四点三线绝对值＋－平移×伸缩变号变位为对称横横纵纵绝对翻运算主体纯字母＋角顺转绕极点直线法距圆用心性质法两域五性特殊点单式变换是基础和谐函数是代表一根二序三变量运算主体纯字母图象变换点变换常用结论要熟知以点代线是小作复杂变换用参量基本函数要熟知⑴常值函数的图像:……⑶反比函数的图像:……⑵正比函数的图像:……⑷一次函数的图像:……⑸二次函数的图像:……yCykxkyxykxb2yaxxbxc注：分式一次函数的图像反比函数的图像平移常数分离法⑹对号函数的图像kyxx0k0k2kk，⑺三次函数的图像:32fxaxbxcxd0a0a/()0fx（其中：⊿是方程的判别式）⊿＞0⊿≤02x1x2x1x注:四次函数的图像:432fxaxbxcxdxe0a0a方程有/()0fx一个实根或三个实根且有二个为重根时三个互异的实根时方程有/()0fx⑻幂函数的图像nmyxx第一象限是关键正抛负双上大1恒过定点(1,1)点二三象限看奇偶奇奇奇偶奇偶奇偶非走双偶无3xyxyo3logyx2logyx12logyx13logyx⑼对数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对aylogx(1,0)0(0,1)xyxy2xy21xy3xy31⑽指数函数的图像指上对右增大减小指对互反恒过定点大同小异越小越近渐近平行底倒图对xyay=sinx的图象y=cosx的图象(11)三角函数的图象y=tanx的图象y=cotx的图象112233()||||||fxkxxkxxkxx①单绝对值函数：③三绝对值函数：0()||fxkxx②双绝对值函数：1122()||||fxkxxkxx四点三线法五点四线法三点二线法11()xfx，22()xfx，33()xfx，44()xfx，（12）.绝对值函数的图像:yfxygx取大函数：Fmax,xfxgx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：yfxygx取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgx取小函数：符号函数：（x0）（x=0）（x0）xyo11取整函数1.取整的方法：①四舍五入取整②截去小数取整③截去小数向上取整④截去小数向下取整2.上取整函数(ceiling)：xyo132123(不小于x的整数中最小的一个)3.下取整函数(floor)：(不超过x的整数中最大的一个)xyo134212xyoxyo1xyo1-12xxeeshx双曲正弦函数2xxeechx双曲余弦函数双曲正切函数xxxxeeeechxshxthx双曲函数的图像二、两者间的关系：函数的不动点与稳定点1.不动点一定是稳定点；反之则不然2.若f(x)在D上的递增,则稳定点一定是不动点(2010年浙大自考)1.一阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标2.二阶不动点f(x)与y=x交点的横坐标或f(x)上关于y=x对称点的横坐标一、对两者数形的阐释：y=f(x)y=x方程组的解方程组的解f(x1)=x2f(x2)=x100fxx00fxx()()f(x)=yf(y)=x单调性奇偶性周期性作用形数升降性对称性重复性化负为正转换大小化大为小①背诵法②形法③数法f(x)±f(-x)=0f(x+T)=f(x)x1＜x2y1＜y2↗概念判定背诵法反函数：奇偶性：复合函数：基本函数：形法：数法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切和差函数：同加不变；异减看前从左到右持续升（降）增大减小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽象函数配凑法导数法定义法单调性的判定注：导数法判定单调性：第一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①②③①当f(x)单调时②当f(x)不单调时因在Domain上恒成立0)(xf故f(x)在Domain上↗（↘）0)(xf当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↘0)(xf1.背诵法2.形法：3.数法奇偶性的判定注⑹：复合函数的奇偶性是“全奇为奇,一偶则偶”注⑵：若奇函数f(x)在x=0处有定义,则一定有f(0)=0注⑶：f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)注⑷：原函数为奇函数反函数为奇函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑴：若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称注⑺：个别函数的奇偶性，用下列证法可能更简f(x)±f(－x)=0；()1()fxfx注⑻：定义在R上的f(x)，若对任意的x，y有()()()fxyfxfy＋－，则f(x)为奇(偶)函数注⑼：①同号周期性异号对称性若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……2nmx为对称轴)2(nmxf)()(xnfxmf为偶函数)()(xnfxmf），点（02nm为对称中心为奇函数)2(nmxf②类比和谐函数，两种对称性具有周期性……一、概念：二、应用：§19函数的周期性三、判定周期性及求周期的方法：1.判定周期性：化大为小重复性求出周期是关键2.最小正周期：1.周期函数及其周期：②形法①背诵法③数法2.求周期的方法：①公式法②形法③定义法④类比法⑤……一、概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期1.周期函数及其周期：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x±T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期《高数》中对周期函数的定义：大学的定义：周期函数的定义域一定是双侧无界高中的定义：周期函数的定义域不一定是双侧无界两种定义使得周期函数的性质会有差异……①②一、概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期1.周期函数及其周期：2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期注1：周期不唯一注2：不一定有最小正周期二、应用：化大为小重复性综合应用是重点注⑵：一般地,若T是周期,则kT也是周期(k∈Z)注⑶：原函数为周期函数,则导函数为周期函数注⑷：若内函数为周期函数,则复合函数为周期函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑹：同号周期性异号对称性注⑴：一般地,只有和谐函数才有最小正周期T的公式①若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……)()(xnfxmf若若，则有T=2|m-n|)()(xnfxmf若，则有T=|m-n|②类比和谐函数，两种对称性具有周期性……三、判定周期性及求周期的方法：1.判定周期性：②形法①背诵法③数法2.求周期的方法：①公式法：②形法：③定义法：弦式||2T切式||T○②①○一般地,和谐函数才有周期公式迭代法：迭加法：④类比法：①○○②○③直接观察法：图像的重复性f(x＋T)＝f(x)f(x＋a)＝－1fxf(x＋a)＝－f(x)；……f(x)＝f(x＋a)－f(x＋2a)类比和谐函数，两种对称性具有周期性……换元法：○④……f(x＋a)＝f(x－a)……练习1.周期性的判定及周期的求法：(1).判定下列函数是否具有周期性，若有求出T：③满足f(x＋2)＝－f(x)①()fx|cosx|()fxsin|x|②析：形法易得为周期函数，T=π析：形法易得非周期函数故T＝4析：因f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)迭代法也)()(xnfxmf若，则有T=2|m-n|析：令x＋2＝t，则x＝t－2，④满足f(x＋2)＝f(x－2)将其代入f(x＋2)＝f(x－2)故T＝4换元法也注：同号周期性异号对称性若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……)()(xnfxmf则有T=2|m-n|)()(xnfxmf则有T=|m-n|若若得f(t)＝f(t－4)⑤满足＝f(x),故T＝2迭代法也f(x＋1)＝－1fx析：因f(x+2)＝f[(x+1)+1]＝－1fx+1⑥满足1()(1)1()fxfxfx析：因f(x+2)＝f[(x+1)+1]1(1)1(1)fxfx1()1()fxfx＝1－1＋1()1()fxfx＝－1fx又因f(x+4)＝f[(x+2)+2]＝－1fx+2＝f(x),故T＝4迭代法也析：由f(x)＝f(x－1)－f(x－2)得⑦满足f(x)＝f(x－1)－f(x－2)将上述两式相加得f(x)＝－f(x－3)换元法也f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)故T＝6又因f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝f(x)迭加法也迭代法也⑧偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)析：类比和谐函数，两种对称性具有周期性……结合形法易得T=2类比法也⑧偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)即f(x+4)=f(x)析：类比和谐函数，两种对称性具有周期性……结合形法易得T=2证：因f(x)是偶函数故f(2-x)=f(x-2)又因f(2+x)=f(2-x)故f(x-2)=f(2+x)故T＝4练习2.周期性的应用：(2).《金考案》P：16左下(2014年安徽)(3).(2012年山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=A.335B.338C.1678D.2012析：易得T=6；而f(-3)=-1；f(-2)=0；f(-1)=-1f(1)=1；f(2)=2f(0)=0；故f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=1又因f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=335×[f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)]+f(1)+f(2)=338故选【B】(4).《金考案》P：16右中(2012年