高三数学-第51讲-抛物线课时训练卷(基础+难点-含解析解题方法)-理-新人教A版

[第51讲抛物线](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2，0)B．(－2，0)C．(4，0)D．(－4，0)2．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x4．[2013·西安质检]过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为()A．1B．2C．4D．8能力提升5．[2013·石家庄质检]已知抛物线y2＝2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为()A．20B．25C．30D．506．[2013·黄冈模拟]过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在7．[2013·厦门质检]抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2，22)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1B.32C．2D.528．[2013·四川卷]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．259．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－210．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________．图K51－111．[2013·陕西卷]图K51－1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.12．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝12，则p的值为________．13．[2013·重庆卷]过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________．14．(10分)[2013·广州调研]设双曲线C1的渐近线为y＝±3x，焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C3：x2＝2py(p0是常数)的焦点F在曲线C2上．(1)求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程；(2)过点F的直线l交曲线C3于点A，B(A在y轴左侧)，若AF→＝13F·B→，求直线l的倾斜角．15．(13分)[2013·泉州质检]已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．(1)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N(4，2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？难点突破16．(12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十一)【基础热身】1．B[解析]由y2＝－8x，易知焦点坐标是－p2，0，故选B.2．B[解析]根据抛物线定义，圆心到焦点的距离等于其到准线的距离．3．A[解析]设所求抛物线方程为y2＝ax，依题意42＝2a⇒a＝8，故所求为y2＝8x.4．C[解析]抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，对称轴为x轴，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且垂直于对称轴的直线为x＝p2，交抛物线于Ap2，p，Bp2，－p两点，线段AB的长为8，故2p＝8⇒p＝4.【能力提升】5．B[解析]抛物线y2＝2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A，B两点，则|AB|＝2p，|AB|＝10，所以抛物线方程为y2＝10x，P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p＝5，则△ABP的面积为12×10×5＝25.6．D[解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A，B两点到直线x＝－2的距离之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5，所以x1＋x2＝1.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB⊥x轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．7．D[解析]由点P(2，22)在此抛物线y2＝mx上，得m＝4，∴抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1，0)．又M为线段PF的中点，∴M的坐标为32，2，∴M到抛物线的准线x＝－1的距离为52.8．B[解析]设方程为y2＝2px，准线为x＝－p2，而M点到准线距离为3，可知－p2＝－1，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，当x＝2时，可得y0＝±22，∴|OM|＝22＋（22）2＝23.9．B[解析]抛物线的焦点Fp2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，将其代入y2＝2px＝2py＋p2＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y22＝p＝2，所以抛物线为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.10.324[解析]抛物线的焦点坐标为p2，0，点F，A的中点为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到抛物线准线的距离为24＋22＝324.11．26[解析]本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1m时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝6，所以此时水面宽为26m.12．1[解析]设At22p，t，B－p2，yB，Fp2，0，由AF→＝FB→得，p2－t22p，－t＝(－p，yB)，由此得t2＝3p2，yB＝－t.设C－p2，t，则BA→＝t22p＋p2，2t，BC→＝(0，2t)，所以BA→·BC→＝12得4t2＝12，故p＝1.13.56[解析]由抛物线方程可知p＝1，焦点F的坐标为12，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2512，所以x1＋x2＝1312.设直线AB的方程为y＝kx－12，代入抛物线y2＝2x，得k2x2－x＋14＝2x，即k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0，x1＋x2＝k2＋2k2＝1312，所以k2＝24，将k2＝24代入k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0，因为|AF|＜|BF|，所以解方程得x1＝13，所以|AF|＝x1＋p2＝56.14．解：(1)双曲线C1满足：b1a1＝3，2a1＝1，解得a1＝12，b1＝32.则c1＝a21＋b21＝1，于是曲线C1的焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，曲线C2是以F1，F2为焦点的椭圆，设其方程为x2a22＋y2b22＝1(a2b20)，由题意2a2＝22，a22－b22＝1，得a2＝2，b2＝1，即C2：x22＋y2＝1.依题意，曲线C3：x2＝2py(p0)的焦点为F(0，1)，于是p2＝1，所以p＝2，曲线C3：x2＝4y.(2)由条件可设直线l的方程为y＝kx＋1(k0)，由x2＝4y，y＝kx＋1.得x2－4kx－4＝0，Δ＝16(k2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由AF→＝13FB→得－3x1＝x2，代入x1＋x2＝4k，得x1＝－2k，x2＝6k，代入x1x2＝－4得k2＝13，由于点A在y轴左侧，所以x1＝－2k0，即k0，所以k＝33，直线l的倾斜角为π6.15．解：(1)因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.(2)方法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.①当直线m的斜率不存在时，不合题意．②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－2＝k(x－4)，联立方程组y－2＝k（x－4），y2＝4x，消去y，得k2x2－(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*)∴x1＋x2＝8k2－4k＋4k2＝8，解得k＝1.此时，方程(*)为x2－8x＋4＝0，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.方法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.易判断直线m不可能垂直y轴，∴设直线m的方程为x－4＝a(y－2)，联立方程组x－4＝a（y－2），y2＝4x，消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0，∵Δ＝16(a－1)2＋480，∴直线与轨迹C必相交．又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1.∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.方法三：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，得x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上，∴有y21＝4x1，（1）y22＝4x2，（2）将(1)－(2)，得y21－y22＝4(x1－x2)．当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1，即直线AB的斜率k＝1，注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹C相交)，∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.【难点突破】16．解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：（x－1）2＋y2－x＝1(x0)．化简得y2＝4x(x0)．(2)设过点M(m，0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋m，y2＝4x得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)0，于是y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.①又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FA→·FB→0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y20.②又x＝y24，于是不等式②等价于y214·y224＋y1y2－y214＋y224＋10⇔（y1y2）216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋10.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋14t2.④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋10，即3－22m3＋22.由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)．