九年级数学上册第四章图形的相似复习学案1无答案新版北师大版

1第四章图形的相似学习目标与考点分析学习目标：1、熟练理解运用线段的比AB:CD=m:n以及黄金分割2、明确理解相似三角形和相似多边形的性质3、熟练运用相似多边形边角关系考点分析：1、相似比的性质和黄金分割2、相似多边形的性质和判定定理学习重点重点：1、线段比例和黄金分割2、相似三角形的性质3、相似三角形的额判定定理学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程【知识点梳理】一.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3.注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则二.黄金分割※1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四.相似多边形¤1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五.相似三角形※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.2※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5.相似三角形周长的比等于相似比.※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2,l1//l2//l3,则.※3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八.相似的多边形的性质※相似多边形的周长比等于相似比;面积比等于相似比的平方.九.图形的位似※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.【例题讲解】（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比注：同一长度单位的两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么这两条线段的比AB：CD=mn：或，其中、分别叫做这个线段比的前项和后项，如果ABCDmnABCD3把表示成比值，那么或·。mnkABCDkABkCD例：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？不对，因为a、b的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位.（）若，且，则。35328abcabca解：令，则，，abckakbkck532532abckkkkk532482ak510（）若：：，则。423432xyzxyzy::解：设x=2k，y=3k，z=4k3232234366434343xyzykkkkkkkkkk2比例尺=图上距离／实际距离.例1.已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm，则该地图的比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为__________。解：比例尺千米18018000000cm64800000051200000512512102..cmkmkm50800000050000008000000580625kmcm.（）答案：1：8000000；5.12×102km；0.625cm3如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段例1：已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长。4比例的基本性质：如果，那么ad=bc（）若，则。157abab（）若，则，。2850xyxyxyxy五.合比性质、等比性质：4合比：若，则或abcdabbcddabacdc等比：若……（若……）abcdefmnkbdfn0则…………acembdfnabmnk.（）若，则1572323abcdefacebdf（）和中，，且的周长335111111111111ABCABCABABBCBCACACABC为，求的周长。50cmABC（）若，则4abcbaccabkkABCD....12112132或解：（）157abcdefabcdef223357acebdf232357（2）令AD=4k，DB=k，AE=4n，EC=nABDBADDBDBkkkkk4551ECAEnn414ABADADDBADkkkkk445454ECACECAEECnnnnn4515（）335111111ABBCACABBCAClllABCABCABC111355035lABC305（）当时，40212abcabcabc()当时，abcbca0abcaa1kk121或（二）.黄金分割如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果ACAB=BCAC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。（1）把长为8cm的线段进行黄金分割，较长线段的长是________。（）若点是线段的黄金分割点，则2CABACABABCD....512512532512352或解：（）：15121ACABACABACAC5125128454··（2）AC可能是较大线段也可能是较小线段ACB选DACAB512ACABBCAB115122512352（三）相似多边形61.对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。例10.（）若四边形四边形且：四边形四边形1ABCDABCDSSABCDABCD1111222211112222~191111111122222222：，则ABBCCDDAABBCCDDA（2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_________，面积比为______________。（3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m2，则它们的面积分别为_________________。解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3ABBCCDDAABCD111111111111是四边形的周长ABBCCDDAABCD222222222222是四边形的周长周长比等于相似比13（2）4：9；16：81（3）面积比为9：16，设两个相似地块分别为9x，16x169287284xxxx9361664xx，它们的面积分别为，366422cmcm（四）相似三角形1相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）2相似三角形的判定方法有（1）两角对应相等，两三角形相似。（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）三边对应成比例，两三角形相似。3相似三角形的性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）7的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。例11.（）如图，在中，，，，求。1348ABCDEBCADBDSSABCADE//（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2ABCEFGHEFBCG、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。AHMGBEDFC1解：（）11DEBCB//AAADEABC~ADABADADBDBDBDBD3334SSSSADEABCADEADE()3448916272（2）设正方形边长为x则HGHEMDGFEFxAMADMDx10正方形HEFGHGBC//1BHAGBACAHGABC~8ABCDEFKAMADHGBC（相似三角形对应高的比等于相似比）101015xx15101015015101510150251506()xxxxxxxxcm（）Scm正方形（）63622一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。ABCDEM12ABCDEFG12349例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且31ADAFABEB。求证：∠AEF=∠FBD课内练习与训练一.填空题1.已知230xyxy，则________，xyy=__________。2.上午8时，某地一根长1m的标尺直立地面，其影长为1.4m，同时测得一建筑物影长为43.4m，则该建筑物高度为________m。已知ABCABCABABADBCDADBCD~'''''''''，且，于点，于点2，点P、PBCBCBPBCBPBCADAD'''''''''分别在和上，，，则1313_________，BPBP''=_____________，SSABPABP'''=______________。4.如图，在ABC中，DE//BC，ADBDAEAC12，则=_________，如果BC=16，则DE=___________。5.如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，若AC=4cm